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三条等长长臂：长度三与四的 0-可旋转性

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两项经过内部审查的构造证明：对三条长度均为三或均为四的长臂、且中心至少另有一个叶子的蜘蛛树，任意指定顶点都可在某个优美标号中取得零。两个证明涵盖任意数量的额外叶子；发表优先权尚未确定。

作者
School Scotty · AI-assisted research program
研究状态
进行中
发布日期
版本
1

研究进行中 · 已通过内部审查的证明 · 2026 年 10 月 8 日

研究问题

考虑一个中心顶点，连接三条等长的长臂，中心还直接连接至少一个额外叶子。这里证明两个明确限定的情形：三条长臂的长度都为三，或者都为四。额外中心叶子的数量记为 m >= 1。优美标号把从零到边数的每个整数恰好一次地分配给顶点，并使边两端标号的绝对差恰好是从一到边数的所有整数。

对这两个图族，任意指定的顶点都能在某个优美标号中取得零。这一性质称为 0-可旋转性。

已核查的内容

长臂长度为三时，五个明确的基础标号覆盖五类顶点；长度为四时，六个基础标号覆盖六类顶点。共用的阈值插入引理在中心增加一个叶子，同时保持所需的边差和原来的零标号顶点。由该引理可推出对所有 m 的结论；只检查有限多个例子不能推出这一结论。

正式发布后，可在本项目的“相关出版物”栏目找到带版本的研究札记。札记列出全部十一个基础证书以及完整的两种情形归纳证明。可下载的证明包包含两份原始论证、精确的 Python 检查程序、两份独立的内部审查和有针对性的文献综述。证明包的 SHA-256：86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549。

背景与范围

Patterson 在 2017 年提出了更广泛的蜘蛛树 0-可旋转性猜想，其中有一个例外图族。更早的论文证明了相关蜘蛛树的优美性以及其他图类的 0-可旋转性。与“在标号中插入空位”相关的思路也早于本工作公开发表。定向文献检索没有找到这两个图族各自对所有 m 的完全相同定理，但发表优先权仍未确定。本页不宣称全球范围的首创性。

证明仅涉及三条等长长臂，长度为三或四，并且中心另有 m >= 1 个叶子；它不涵盖任意蜘蛛树或其他长臂长度。两份审查均为 AI 辅助的内部核查，并非形式化验证、外部审查或同行评议。本次研究未能逐页查看 Patterson 学位论文的完整 PDF；若以后以原创成果投稿，应直接核实猜想原文。证明包里的部分源文件保留了试点阶段的历史状态描述；BUNDLE-README.md 说明了时间顺序。

陈述与证据

SPIDER-333-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
Five m=1 label certificates and the fixed-threshold insertion lemma; independent internal audit in graceful-spider-three-arms-proof.zip (SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549), audit.md.
范围
Exactly three arms of length three and at least one additional center leaf; all integer m >= 1. No result for arbitrary spiders or arbitrary numbers of length-three arms. Publication priority unresolved.
假设
Graceful labels use each integer 0..m+9 once; edge differences use 1..m+9 once. The graph is S(3,3,3,1^m).
工具链
Elementary written induction; Python 3.12.1 checks the base certificates and finite invariant instances. No formal proof assistant.
审查者
Independent internal AI mathematical audit, 8 October 2026; no external or peer reviewer.

SPIDER-444-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(4,4,4,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
Six m=1 label certificates and the fixed-threshold insertion lemma; independent internal audit in graceful-spider-three-arms-proof.zip (SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549), audit-k4.md.
范围
Exactly three arms of length four and at least one additional center leaf; all integer m >= 1. No result for arbitrary spiders or other arm lengths. Publication priority unresolved.
假设
Graceful labels use each integer 0..m+12 once; edge differences use 1..m+12 once. The graph is S(4,4,4,1^m).
工具链
Elementary written induction; Python 3.12.1 checks the six base certificates and finite invariant instances. No formal proof assistant.
审查者
Independent internal AI mathematical audit, 8 October 2026; no external or peer reviewer.

贡献与 AI 辅助

贡献

School Scotty 是由 Jordi Gartner 维护的 AI 辅助研究计划。本页注明了先前关于蜘蛛树的猜想及标号研究；不宣称存在经独立证实的人类数学发现，也不宣称全球发表优先权。

AI 辅助

AI 代理找到了长臂长度三的五个和长度四的六个基础证书，发展并写出阈值插入证明，编写精确检查程序，开展两项独立的内部数学审查和定向文献检索，并核查了所述基础情形和证明不变量。这些检查均非外部审查或同行评议。

参考资料

  1. B. J. Patterson, New Classes of Graceful Spiders and Related Computational Results, MSc thesis, Ball State University (2017), Conjecture 5.4.4
  2. R. I. Rofa, 0-rotatability of classes of rooted symmetric trees (2023)
  3. P. Bahls, S. Lake and A. Wertheim, Gracefulness of families of spiders, Involve 3 (2010)
  4. A. Panpa, S. Imnang and T. Wasuanankul, Graceful Labeling of Spider Graphs With at Most Five Legs, Journal of Applied Mathematics (2025)
  5. MathWorld, Graceful Tree Theorem, 2026 discussion of a label-gap insertion method attributed to E. Pegg Jr. (secondary account)

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    · 研究笔记

版本历史

版本发布日期更新说明
v12新增适用于所有整数臂长 k≥19、极限比例为 10/11 的连续可置零深度前缀，补齐更多余数类，并提供显式深度界限及可复现的证明源码。
v11已调整“深度覆盖增长”研究札记的链接文字，使其与页面语言一致。
v10新增一种构造：对于满足 k = 2r + 1、s ≥ 1、r ≥ 3s、r ≠ 3s + 1、n ≥ 2、m ≥ 0 的 S(k^n,1^m)，可在长臂深度 4s 和 4s + 1 的指定顶点处实现零标号。保证覆盖的深度数量随 k 增长；这并未证明完全零可旋转性。两个指定零位置分别由不同的优美标号实现。
v9修正了英文和德文中关于现有研究札记与单独 K7 证明归档的表述。
v8删去重复的文献说明，并明确有限程序检查的作用。
v7补充了关于五种奇数臂长 k = 3、5、7、9、11（n ≥ 2、m ≥ 0）的证明札记。
归档原文

增加 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0 的独立双参数图族札记。原 k=3、4 及 K7 札记保留各自版本和归档。发表优先权未定；德文与中文仍是翻译草稿。

v6补充单独 K7 证书证明，将项目范围扩展为 k∈{3,4,7}、m≥1；更正 Patterson 全文获取状态及已有 α-优美性结果。德文及中文仍为翻译草稿。
v5明确 AI 在研究、证明构建和核查中的作用、内部审查范围及编辑责任。
v4以 School Scotty 作为研究计划署名，并明确 Jordi Gartner 的编辑责任及 AI 的具体贡献。
v3为现有的证据、范围、假设、工具链和审查人信息补充了德文和中文译文。命题、证明、状态及英文原文均未更改，审查状态也保持不变。
归档原文

仅为现有主张的证据、适用范围、假设、工具链和审查者元数据补充德文及中文译文。主张、证明、状态和英文原文均未更改，审查级别也未提升。

v2修订了英语、德语和中文项目概览，并链接了现有研究札记及公开代码库；定理主张、证据和参考资料均未更改。
v1首版项目页面介绍两项经过内部审核的 0-可旋转性定理，适用于三条长度为三或四的长臂且中心带有 m>=1 个叶节点的情形；新颖性和优先权仍未确定。

评论

讨论版本 1

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