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三条等长长臂：长度三与四的 0-可旋转性

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对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 和 S(4,4,4,1^m) 的任意指定顶点都能在某个优美标号中取得零。十一个基础标号与一个阈值插入引理证明了这两个图族的结论。

作者
School Scotty
研究状态
进行中
发布日期
版本
4

结果

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 和 S(4,4,4,1^m) 都具有 0-可旋转性：任意指定顶点都能在某个优美标号中取得零。两类树都有三条等长长臂，中心另接 m 个叶子。若树有 q 条边，优美标号使顶点恰好使用 0,...,q，各条边标号差的绝对值恰好使用 1,...,q，均不重复。

证明思路

在 m=1 时，五组具体标号覆盖第一类树的全部顶点类型，另六组覆盖第二类树。随后用阈值插入引理逐个给中心增加叶子，同时保留全部所需边差及取得零的顶点。归纳由此处理任意 m；附带程序所检查的有限情形只是辅助核对。

研究札记给出全部十一个基础标号、分两种情形的插入证明，以及与先前工作的关系。下载包包含基础数据、Python 检查程序和源文件。SHA-256：86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549。

公开仓库提供基础证书、检验程序，以及可在 GitHub 阅读的现有研究札记副本。

适用范围与先前工作

Patterson 于 2017 年提出了范围更广的蜘蛛树 0-可旋转性猜想。其他论文研究了相关图族的优美性或 0-可旋转性；类似的标号空位插入方法也已有公开描述。定向检索没有找到这里两个对所有 m 成立的完全相同命题；发表优先权仍未确定。

本证明仅适用于恰好三条长臂，且它们同为长度三或同为长度四、中心至少另接一个叶子的图族。

陈述与证据

SPIDER-333-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
五份 m=1 的标号证书和固定阈值插入引理；独立开展的内部核查见 graceful-spider-three-arms-proof.zip（SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549）中的 audit.md。
范围
恰有三条长度为 3 的臂，中心另接至少一个叶子；适用于每个整数 m >= 1。不涉及任意蜘蛛树，也不涉及数量不限的长度为 3 的臂。发表优先权尚未确定。
假设
优美标号将 0 到 m+9 的每个整数恰好用一次作顶点标号，并使 1 到 m+9 的每个整数恰好用一次作边差。图为 S(3,3,3,1^m)。
工具链
采用初等方法写出的归纳证明；Python 3.12.1 核查基础标号和有限个不变量实例。未使用形式化证明助手。
审查者
2026 年 10 月 8 日独立开展的内部 AI 数学核查；没有外部审查者，也未经过同行评审。

SPIDER-444-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(4,4,4,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
六份 m=1 的标号证书和固定阈值插入引理；独立开展的内部核查见 graceful-spider-three-arms-proof.zip（SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549）中的 audit-k4.md。
范围
恰有三条长度为 4 的臂，中心另接至少一个叶子；适用于每个整数 m >= 1。不涉及任意蜘蛛树或其他臂长。发表优先权尚未确定。
假设
优美标号将 0 到 m+12 的每个整数恰好用一次作顶点标号，并使 1 到 m+12 的每个整数恰好用一次作边差。图为 S(4,4,4,1^m)。
工具链
采用初等方法写出的归纳证明；Python 3.12.1 核查六份基础标号和有限个不变量实例。未使用形式化证明助手。
审查者
2026 年 10 月 8 日独立开展的内部 AI 数学核查；没有外部审查者，也未经过同行评审。

贡献与 AI 辅助

贡献

School Scotty 是 AI 辅助研究计划；AI 智能体对本项工作的贡献如上所述。Jordi Gartner 维护该计划并负责其编辑发布。

AI 辅助

AI 智能体找到了长臂长度三的五个和长度四的六个基础证书，发展了阈值插入证明，编写精确检查程序，并开展两项内部数学核查和定向文献检索。AI 也协助翻译了部分内容。

参考资料

  1. B. J. Patterson, New Classes of Graceful Spiders and Related Computational Results, MSc thesis, Ball State University (2017), Conjecture 5.4.4
  2. R. I. Rofa, 0-rotatability of classes of rooted symmetric trees (2023)
  3. P. Bahls, S. Lake and A. Wertheim, Gracefulness of families of spiders, Involve 3 (2010)
  4. A. Panpa, S. Imnang and T. Wasuanankul, Graceful Labeling of Spider Graphs With at Most Five Legs, Journal of Applied Mathematics (2025)
  5. MathWorld, Graceful Tree Theorem, 2026 discussion of a label-gap insertion method attributed to E. Pegg Jr. (secondary account)

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版本历史

版本发布日期更新说明
v12新增适用于所有整数臂长 k≥19、极限比例为 10/11 的连续可置零深度前缀，补齐更多余数类，并提供显式深度界限及可复现的证明源码。
v11已调整“深度覆盖增长”研究札记的链接文字，使其与页面语言一致。
v10新增一种构造：对于满足 k = 2r + 1、s ≥ 1、r ≥ 3s、r ≠ 3s + 1、n ≥ 2、m ≥ 0 的 S(k^n,1^m)，可在长臂深度 4s 和 4s + 1 的指定顶点处实现零标号。保证覆盖的深度数量随 k 增长；这并未证明完全零可旋转性。两个指定零位置分别由不同的优美标号实现。
v9修正了英文和德文中关于现有研究札记与单独 K7 证明归档的表述。
v8删去重复的文献说明，并明确有限程序检查的作用。
v7补充了关于五种奇数臂长 k = 3、5、7、9、11（n ≥ 2、m ≥ 0）的证明札记。
归档原文

增加 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0 的独立双参数图族札记。原 k=3、4 及 K7 札记保留各自版本和归档。发表优先权未定；德文与中文仍是翻译草稿。

v6补充单独 K7 证书证明，将项目范围扩展为 k∈{3,4,7}、m≥1；更正 Patterson 全文获取状态及已有 α-优美性结果。德文及中文仍为翻译草稿。
v5明确 AI 在研究、证明构建和核查中的作用、内部审查范围及编辑责任。
v4以 School Scotty 作为研究计划署名，并明确 Jordi Gartner 的编辑责任及 AI 的具体贡献。
v3为现有的证据、范围、假设、工具链和审查人信息补充了德文和中文译文。命题、证明、状态及英文原文均未更改，审查状态也保持不变。
归档原文

仅为现有主张的证据、适用范围、假设、工具链和审查者元数据补充德文及中文译文。主张、证明、状态和英文原文均未更改，审查级别也未提升。

v2修订了英语、德语和中文项目概览，并链接了现有研究札记及公开代码库；定理主张、证据和参考资料均未更改。
v1首版项目页面介绍两项经过内部审核的 0-可旋转性定理，适用于三条长度为三或四的长臂且中心带有 m>=1 个叶节点的情形；新颖性和优先权仍未确定。

评论

讨论版本 4

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