有根优美标号图所接两条偶数长度臂上的指定零标号深度

设 H 含 Q 条边，且已给定常规优美标号 g：顶点标号是 0,…,Q 中互不相同的元素，每个边差 1,…,Q 恰好出现一次。选取实际存在的根顶点 r，使 g(r)=0。对每个偶数 K≥20，在 r 处接上两条不同的新路径，每条含 K 条边，并保留 H 的全部顶点和边。对每条分别命名的臂，以及从 r 起算的每个实际深度 2≤d≤D8(K)，所得图都存在常规优美标号，使目标顶点取零。标号可以随臂和深度而变化；并不要求这些目标在同一个标号中同时取零。H 无须是树、连通或具有 α 标号，g 也无须使用 0,…,Q 中的每个值。

对偶数 K，界为： 20≤K≤34: D8(K)=11; 36≤K≤52: D8(K)=27; 54≤K≤124: D8(K)=25+16 floor((K−35)/18); K≥126: p=(K−4)/2=61+11a+s, 0≤s≤10, D8(K)=107+20a+2s. 其中 a 和 s 是由 p=61+11a+s 确定的非负商与余数。所保证的初始深度区间无界增长。定理给出充分区间，不声称 D8 最优。

证明提供同一条含 2K 条边的 α 标号路径，其 α 分界值为 K，中点标号为 K，目标标号为 0 或 2K。将该路径反向可处理另一条臂。在已有拼接操作中，H 的标号变为 K+g(v)，路径高标号加 Q，低标号保持不变。旧边差仍为 1,…,Q；新边差为 Q+1,…,Q+2K。若目标承载最大值，则对整个拼接图的标号相对于 Q+2K 取补，将该目标变为零。

α/优美标号拼接归功于 Huang、Kotzig 和 Rosa（1982）；Panpa、Imnang 和 Wasuanankul（2025）的定理 2.5，以及 Shan–Zhong（2026）的引理 1，明确给出了适用于任意图的形式及区间平移。Barrientos（2022）第 2 节也描述了这一操作。本次比较尚未取得 1982 年原文全文以及 Cattell（2007）完整的路径刻画。Barrientos–Minion（2019）已在 α 路径上使用零标号与分界标号这一对指定位置。Bell 等（2021）的定理 7 排除了偶数 K 时固定中点标号旁的相邻零标号。这一路径障碍并不证明任意拼接图在深度 1 处无法取零。早期结果是否已蕴含精确的中点与目标同时约束以及本 D8 区间，仍未确定；不主张全球优先权。

Lean 声明 GracefulBoundary.EvenRootedPrefix.all_even_prefix 已用 Lean 4.34.0 检查通过。单独进行的项目内部数学核查，以及从 79 个复制的源码模块进行的另一项内部重放均已通过。重放使用新编译的对象，并核查定理依赖仅使用标准公理 propext、Classical.choice 和 Quot.sound。这些检查依赖 Lean 内核及工具链，也依赖对图编码的正确数学解释。它们不构成外部同行评审。完整源码包为修订 af9cdee7824d14780870898ade045fe5edf6d47d 中的 all-even-rooted-prefix/v1；其来源记录保存了归档证据的哈希。

结论要求已给定的标号在所选根处取零。不覆盖奇数 K、K<20、深度 1、臂端点、超过 D8(K) 的深度或 H 中任意旧顶点；不声称完全零可旋转性、顶点标号满射，也不声称所列区间以外不存在相应标号。