Vorgegebene Nulltiefen auf zwei Armen gerader Länge an einem graziös beschrifteten Wurzelgraphen

H habe Q Kanten und eine vorgegebene konventionell graziöse Beschriftung g: Die Knotenlabels sind verschiedene Elemente von 0,…,Q, und jede Kantendifferenz aus 1,…,Q kommt genau einmal vor. Wähle eine tatsächlich vorhandene Wurzel r mit g(r)=0. Für jedes gerade K≥20 werden zwei verschiedene neue Wege mit je K Kanten an r angesetzt; alle Knoten und Kanten von H bleiben erhalten. Für jeden benannten Arm und jede tatsächliche, von r gemessene Tiefe 2≤d≤D8(K) besitzt der entstehende Graph eine konventionell graziöse Beschriftung, die dem Zielknoten null zuweist. Die Beschriftung darf von Arm und Tiefe abhängen; die Ziele müssen nicht in einer gemeinsamen Beschriftung null tragen. H muss weder ein Baum noch zusammenhängend oder alpha-beschriftet sein; g muss nicht jeden Wert in 0,…,Q verwenden.

Für gerades K gilt die Schranke: 20≤K≤34: D8(K)=11; 36≤K≤52: D8(K)=27; 54≤K≤124: D8(K)=25+16 floor((K−35)/18); K≥126: p=(K−4)/2=61+11a+s, 0≤s≤10, D8(K)=107+20a+2s. Dabei sind a und s der nichtnegative Quotient und Rest gemäß p=61+11a+s. Das garantierte Anfangsintervall wächst unbeschränkt. Der Satz liefert ein hinreichendes Intervall, ohne die Optimalität von D8 zu behaupten.

Der Beweis liefert einen einzigen alpha-beschrifteten Weg mit 2K Kanten, Alpha-Schranke K, Mittelpunktlabel K und Zielwert 0 oder 2K. Umkehrung dieses Weges behandelt den gegenüberliegenden Arm. Bei der etablierten Verklebung werden die Labels von H zu K+g(v), die hohen Weglabels um Q erhöht und die niedrigen Weglabels beibehalten. Alte Kantendifferenzen bleiben 1,…,Q; neue Differenzen sind Q+1,…,Q+2K. Trägt das Ziel den Maximalwert, macht die Komplementierung der gesamten Beschriftung bezüglich Q+2K daraus null.

Die Alpha/graziöse Verklebung wird Huang, Kotzig und Rosa (1982) zugeschrieben; die Formulierung für beliebige Graphen und die Intervallverschiebungen stehen ausdrücklich bei Panpa, Imnang und Wasuanankul (2025), Satz 2.5, sowie Shan–Zhong (2026), Lemma 1. Auch Barrientos (2022), Abschnitt 2, beschreibt diese Operation. Der Originalvolltext von 1982 und Cattells vollständige Wegcharakterisierung von 2007 bleiben Zugangslücken dieses Vergleichs. Barrientos–Minion (2019) verwenden bereits gepaarte Null-/Grenzlabel-Anker auf Alpha-Wegen. Bell et al. (2021), Satz 7, schließen für gerades K eine benachbarte Null neben dem festen Mittelpunktlabel aus. Dieses Weghindernis beweist keine Unmöglichkeit in Tiefe 1 für beliebige angesetzte Graphen. Ob frühere Ergebnisse die genaue gemeinsame Mittelpunkt-/Zielbedingung und dieses D8-Intervall bereits liefern, bleibt ungeklärt; eine weltweite Priorität wird nicht beansprucht.

Die Lean-Deklaration GracefulBoundary.EvenRootedPrefix.all_even_prefix wurde mit Lean 4.34.0 geprüft. Eine getrennte projektinterne mathematische Prüfung und eine getrennte projektinterne Wiedergabe aus 79 kopierten Quellmodulen waren erfolgreich. Die Wiedergabe verwendete frisch kompilierte Objekte und prüfte die Theoremabhängigkeiten auf die Standardaxiome propext, Classical.choice und Quot.sound. Die Prüfungen setzen den Lean-Kern und die Werkzeugkette sowie die zutreffende Interpretation des kodierten Graphen voraus. Sie sind keine externe wissenschaftliche Begutachtung. Das vollständige Quellpaket ist all-even-rooted-prefix/v1 in Revision af9cdee7824d14780870898ade045fe5edf6d47d; seine Provenienzdatei verzeichnet die Hashes der archivierten Evidenz.

Die Aussage setzt die vorgegebene Beschriftung mit null an der gewählten Wurzel voraus. Sie umfasst weder ungerades K, K<20, Tiefe 1, Spitzen, Tiefen oberhalb von D8(K) noch beliebige alte Knoten von H. Sie behauptet weder vollständige Nullrotierbarkeit noch Surjektivität der Knotenlabels oder Nichtexistenz außerhalb des angegebenen Intervalls.