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研究 / graceful-spider-three-arms

等长臂蜘蛛树族的 0-可旋转性

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给出 S(k^n,1^m) 的指定零顶点构造证明，其中 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0，并保留三条长臂、k=4、m≥1 的独立结果。注明已有构造及子族；优先权未定。 设整数 s>=1、r>=3s 且 r!=3s+1，令 k=2r+1。对每个 n>=2、m>=0，以及 S(k^n,1^m) 中任意指定的、位于长臂深度 4s 或 4s+1 的顶点，存在将该顶点标为零的优美标号。标号可以随选定顶点而变化。每个奇数 k>=11 至少覆盖 2 floor((k-5)/6) 个深度。

作者
School Scotty
研究状态
进行中
发布日期
版本
10
源代码版本
8f2aac9c3cd9fd799b076779c4402ae19b88181a

先前三条长臂结果

对于每个 k∈{3,4,7} 和整数 m≥1，S(k,k,k,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在某个优美标号中取得零。范围限于三条等长长臂及额外中心叶子。不涉及 m=0、其他臂长、其他长臂数量、所有蜘蛛树，也不保证每个指定零顶点都有 α-标号。

现有长度三与四的札记以及单独 K7 札记给出基础证书和叶子插入证明。五个 K7 基础标号及四个补标号覆盖九个零顶点轨道。书面的区间论证证明无界结论；有限程序检查用于补充核对。

先前工作

Brandon J. Patterson 的 2017 年硕士论文现已完整获取。Theorem 3.3.8（印刷页 13–14）已证明这些图族的 α-优美性。Conjecture 5.4.4 范围更广。优美性与任意指定零顶点的可旋转性是不同命题。其他 Patterson 结果还能推出若干 K7 零位置，推导见 K7 札记。

证据与核查

公开仓库保存已有证书及历史 V1 札记副本。仓库中的 K7 文件提供单独的证书证明及复现记录。现有札记的证明下载保留为独立资料；独立的 K7 证明归档的 SHA-256 为 f5bc44be564bdf7e2c3ad648e023c03ebd203c52873c35cb76c6e156cad0048e。AI 辅助核查属于项目内部检查，没有外部同行评审或证明助手形式化验证。EN/DE/ZH 的语言状态在各自人工审校被记录前均为草稿。

等长臂图族

对每个 k∈{3,5,7,9,11}、整数 n≥2、整数 m≥0 及 S(k^n,1^m) 的每个顶点 v，都存在优美标号 f 使 f(v)=0。 独立的图族札记给出完整证明。已有 k=4 结果仍限于三条长臂且 m≥1。另一个部分引理对每个奇数 k≥3 给出中心、深度 1、2、k-1、k 及存在的短叶子零标号；它不证明所有奇数 k 的全部深度。偶数臂长障碍只涉及所述 α-路径方法。中心、叶子、组合构造，以及 k=3,m=0、路径和其他双臂子族已有先前结果。源文件；独立证明归档，SHA-256 83e82afab5988ebb3cd3d19d9cc08d7945cf6bde5257b415f4ae662fd220be32。

不断增长的指定零顶点深度覆盖

设整数 s>=1、r>=3s 且 r!=3s+1，令 k=2r+1。对每个 n>=2、m>=0，以及 S(k^n,1^m) 中任意指定的、位于长臂深度 4s 或 4s+1 的顶点，存在将该顶点标为零的优美标号。标号可以随选定顶点而变化。每个奇数 k>=11 至少覆盖 2 floor((k-5)/6) 个深度。

Research note / Forschungsnotiz / 研究札记

Version gd-2026-10-09-v1.1.

陈述与证据

SPIDER-333-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
五份 m=1 的标号证书和固定阈值插入引理；独立开展的内部核查见 graceful-spider-three-arms-proof.zip（SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549）中的 audit.md。
范围
恰有三条长度为 3 的臂，中心另接至少一个叶子；适用于每个整数 m >= 1。不涉及任意蜘蛛树，也不涉及数量不限的长度为 3 的臂。发表优先权尚未确定。
假设
优美标号将 0 到 m+9 的每个整数恰好用一次作顶点标号，并使 1 到 m+9 的每个整数恰好用一次作边差。图为 S(3,3,3,1^m)。
工具链
采用初等方法写出的归纳证明；Python 3.12.1 核查基础标号和有限个不变量实例。未使用形式化证明助手。
审查者
2026 年 10 月 8 日独立开展的内部 AI 数学核查；没有外部审查者，也未经过同行评审。

SPIDER-444-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(4,4,4,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
六份 m=1 的标号证书和固定阈值插入引理；独立开展的内部核查见 graceful-spider-three-arms-proof.zip（SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549）中的 audit-k4.md。
范围
恰有三条长度为 4 的臂，中心另接至少一个叶子；适用于每个整数 m >= 1。不涉及任意蜘蛛树或其他臂长。发表优先权尚未确定。
假设
优美标号将 0 到 m+12 的每个整数恰好用一次作顶点标号，并使 1 到 m+12 的每个整数恰好用一次作边差。图为 S(4,4,4,1^m)。
工具链
采用初等方法写出的归纳证明；Python 3.12.1 核查六份基础标号和有限个不变量实例。未使用形式化证明助手。
审查者
2026 年 10 月 8 日独立开展的内部 AI 数学核查；没有外部审查者，也未经过同行评审。

SPIDER-777-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m≥1 和 S(7,7,7,1^m) 的每个顶点 v，都存在优美标号 f 使 f(v)=0。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
五个基础标号、四个补标号及书面的区间插入证明覆盖所有 m≥1 的九个零轨道。证明归档 SHA-256 f5bc44be564bdf7e2c3ad648e023c03ebd203c52873c35cb76c6e156cad0048e；下载 /downloads/8；仓库提交 4aca7989c752870b353fcd40d43895ab54d073fe，k7/。内部检查及诊断见 REPRO-REPORT.md。
范围
恰有三条七边长臂及 m≥1 个中心叶子。不涉及 m=0、其他臂长或臂数、任意蜘蛛树、每个零顶点的 α-标号，也不主张原创性或优先权。
假设
图为 S(7,7,7,1^m)，m≥1、q=21+m；顶点标号恰好使用 0..q，边差恰好使用 1..q。不同指定顶点可使用不同标号。
工具链
书面初等证明及在 Python 3.12.1 下运行的精确检查程序；诊断见 REPRO-REPORT.md，要求 Python 3.10+；没有证明助手。
审查者
2026 年 10 月 9 日另行开展的内部 AI 数学核查及检查程序；没有外部或同行评审者。

EQUAL-ARM-357911-FAMILIES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个 k∈{3,5,7,9,11}、整数 n≥2、整数 m≥0 及 S(k^n,1^m) 的每个顶点 v，都存在优美标号 f 使 f(v)=0。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
两份书面的证书与组合构造证明及十份精确路径证书：长度 3、5、7、9 对应六份，长度 11 对应四份。分别开展的内部核查和检查程序覆盖各自注明的范围。源文件 families/ 位于提交 290c72cd3b79c955787c0b28e5f4fb2cd6556e4e；证明归档 /downloads/9，SHA-256 83e82afab5988ebb3cd3d19d9cc08d7945cf6bde5257b415f4ae662fd220be32。
范围
范围恰为 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0，包含 n=2,m=0 的路径。标号可随指定顶点变化。不主张全部奇数臂长、偶数臂长、不等长臂、每个零位置均为 α-标号或任意蜘蛛树的定理，也不主张原创性或优先权。
假设
S(k^n,1^m) 有 q=nk+m 条边；顶点标号双射地使用 0..q，边差恰好使用 1..q。n≥2、m≥0；仅在存在短叶子时指定其为零。
工具链
适用于无界参数的书面构造与使用 Python 标准库的证书和标号检查程序。构造器 API 仅支持 3、5、7、9；独立的长度 11 检查程序核查该扩展。没有证明助手。
审查者
2026 年 10 月 9 日分别开展的内部 AI 数学核查，以及独立实现的前四种臂长和臂长 11 扩展的检查程序。没有外部同行评审。

growing-prescribed-zero-depths 已提供证明

设整数 s>=1、r>=3s 且 r!=3s+1，令 k=2r+1。对每个 n>=2、m>=0，以及 S(k^n,1^m) 中任意指定的、位于长臂深度 4s 或 4s+1 的顶点，存在将该顶点标为零的优美标号。标号可以随选定顶点而变化。每个奇数 k>=11 至少覆盖 2 floor((k-5)/6) 个深度。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
对全部参数的证明已由另一名 AI 智能体独立重建。保存的 156 个路径和 960 个蜘蛛图标号全部一致；另行核查了更多实例，并拒绝了 13 个负面测试用例。有限核查支持实现与完整性；无上界结论来自重建的证明。这属于内部审查，没有人工同行评审或证明助手验证。 https://github.com/beedbyte/graceful-spiders/blob/8f2aac9c3cd9fd799b076779c4402ae19b88181a/growing-depth/v1/source/proof.md ; https://github.com/beedbyte/graceful-spiders/blob/8f2aac9c3cd9fd799b076779c4402ae19b88181a/growing-depth/v1/reviews/independent/audit-report.md
范围
指定零位置的部分覆盖。深度按距指定中心的边数计，包括 n=2,m=0。排除 r=3s+1 是本公式的限制。此前 k∈{3,5,7,9,11} 的所有指定顶点结论仍是独立结果。优先权未定。

贡献与 AI 辅助

贡献

将先前的三长臂证书证明与独立的双参数证书及组合构造证明联系起来。注明已有构造和完全已知的子族；不主张首个证明或发表优先权。Jordi Gartner 负责编辑发布。

AI 辅助

搜索、证明推导与核查、代码检查、文本准备以及德文和中文翻译草稿使用了 AI 辅助。数学审查属于内部工作，并非外部同行评审或形式化验证。

参考资料

  1. Brandon J. Patterson, *New Classes of Graceful Spiders and Related Computational Results*, master's thesis, Ball State University, May 2017.
  2. A. Panpa, S. Imnang, T. Wasuanankul, *Graceful Labeling of Spider Graphs With at Most Five Legs*, Journal of Applied Mathematics (2025), DOI 10.1155/jama/5826777.
  3. Songling Shan, Yucheng Zhong, *Graceful Labeling of Two Families of Spiders*, arXiv:2605.14295v2 (2026).
  4. Rafael I. Rofa, *0-rotatability of classes of rooted symmetric trees. Are rooted symmetric trees 0-rotatable?*, arXiv:2312.16235 (2023).
  5. Patrick Bahls, Sara Lake, Andrew Wertheim, *Gracefulness of families of spiders*, Involve 3 (2010).
  6. Bogdan Dumitru, Mihai Nacu, *Alternating Extremes in Graceful Labelings of Full Binary Trees and Spider Trees*, arXiv:2607.12597 (2026).
  7. Tong Niu, *Graceful labelings of spiders with three-edge legs and pendant leaves at the center*, arXiv:2605.02303 (2026).

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版本历史

版本发布日期更新说明
v12新增适用于所有整数臂长 k≥19、极限比例为 10/11 的连续可置零深度前缀，补齐更多余数类，并提供显式深度界限及可复现的证明源码。
v11已调整“深度覆盖增长”研究札记的链接文字，使其与页面语言一致。
v10新增一种构造：对于满足 k = 2r + 1、s ≥ 1、r ≥ 3s、r ≠ 3s + 1、n ≥ 2、m ≥ 0 的 S(k^n,1^m)，可在长臂深度 4s 和 4s + 1 的指定顶点处实现零标号。保证覆盖的深度数量随 k 增长；这并未证明完全零可旋转性。两个指定零位置分别由不同的优美标号实现。
v9修正了英文和德文中关于现有研究札记与单独 K7 证明归档的表述。
v8删去重复的文献说明，并明确有限程序检查的作用。
v7补充了关于五种奇数臂长 k = 3、5、7、9、11（n ≥ 2、m ≥ 0）的证明札记。
归档原文

增加 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0 的独立双参数图族札记。原 k=3、4 及 K7 札记保留各自版本和归档。发表优先权未定；德文与中文仍是翻译草稿。

v6补充单独 K7 证书证明，将项目范围扩展为 k∈{3,4,7}、m≥1；更正 Patterson 全文获取状态及已有 α-优美性结果。德文及中文仍为翻译草稿。
v5明确 AI 在研究、证明构建和核查中的作用、内部审查范围及编辑责任。
v4以 School Scotty 作为研究计划署名，并明确 Jordi Gartner 的编辑责任及 AI 的具体贡献。
v3为现有的证据、范围、假设、工具链和审查人信息补充了德文和中文译文。命题、证明、状态及英文原文均未更改，审查状态也保持不变。
归档原文

仅为现有主张的证据、适用范围、假设、工具链和审查者元数据补充德文及中文译文。主张、证明、状态和英文原文均未更改，审查级别也未提升。

v2修订了英语、德语和中文项目概览，并链接了现有研究札记及公开代码库；定理主张、证据和参考资料均未更改。
v1首版项目页面介绍两项经过内部审核的 0-可旋转性定理，适用于三条长度为三或四的长臂且中心带有 m>=1 个叶节点的情形；新颖性和优先权仍未确定。

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讨论版本 10

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