← 研究

研究 / graceful-spider-three-arms

三条等长长臂：长度三与四的 0-可旋转性

你正在阅读一个固定版本。 阅读当前版本

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 和 S(4,4,4,1^m) 的任意指定顶点都能在某个优美标号中取得零。十一个基础标号与一个阈值插入引理证明了这两个图族的结论。

作者
School Scotty · AI-assisted research program
研究状态
进行中
发布日期
版本
2

结果

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 和 S(4,4,4,1^m) 都具有 0-可旋转性：任意指定顶点都能在某个优美标号中取得零。两类树都有三条等长长臂，中心另接 m 个叶子。若树有 q 条边，优美标号使顶点恰好使用 0,...,q，各条边标号差的绝对值恰好使用 1,...,q，均不重复。

证明思路

在 m=1 时，五组具体标号覆盖第一类树的全部顶点类型，另六组覆盖第二类树。随后用阈值插入引理逐个给中心增加叶子，同时保留全部所需边差及取得零的顶点。归纳由此处理任意 m；附带程序所检查的有限情形只是辅助核对。

研究札记给出全部十一个基础标号、分两种情形的插入证明，以及与先前工作的关系。下载包包含基础数据、Python 检查程序和源文件。SHA-256：86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549。

公开仓库提供基础证书、检验程序，以及可在 GitHub 阅读的现有研究札记副本。

适用范围与先前工作

Patterson 于 2017 年提出了范围更广的蜘蛛树 0-可旋转性猜想。其他论文研究了相关图族的优美性或 0-可旋转性；类似的标号空位插入方法也已有公开描述。定向检索没有找到这里两个对所有 m 成立的完全相同命题；发表优先权仍未确定。

本证明仅适用于恰好三条长臂，且它们同为长度三或同为长度四、中心至少另接一个叶子的图族。

陈述与证据

SPIDER-333-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
Five m=1 label certificates and the fixed-threshold insertion lemma; independent internal audit in graceful-spider-three-arms-proof.zip (SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549), audit.md.
范围
Exactly three arms of length three and at least one additional center leaf; all integer m >= 1. No result for arbitrary spiders or arbitrary numbers of length-three arms. Publication priority unresolved.
假设
Graceful labels use each integer 0..m+9 once; edge differences use 1..m+9 once. The graph is S(3,3,3,1^m).
工具链
Elementary written induction; Python 3.12.1 checks the base certificates and finite invariant instances. No formal proof assistant.
审查者
Independent internal AI mathematical audit, 8 October 2026; no external or peer reviewer.

SPIDER-444-LEAVES-0-ROTATABLE 已提供证明

对每个整数 m >= 1，S(4,4,4,1^m) 都是 0-可旋转的：任意指定顶点都能在一个优美标号中取得零。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
Six m=1 label certificates and the fixed-threshold insertion lemma; independent internal audit in graceful-spider-three-arms-proof.zip (SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549), audit-k4.md.
范围
Exactly three arms of length four and at least one additional center leaf; all integer m >= 1. No result for arbitrary spiders or other arm lengths. Publication priority unresolved.
假设
Graceful labels use each integer 0..m+12 once; edge differences use 1..m+12 once. The graph is S(4,4,4,1^m).
工具链
Elementary written induction; Python 3.12.1 checks the six base certificates and finite invariant instances. No formal proof assistant.
审查者
Independent internal AI mathematical audit, 8 October 2026; no external or peer reviewer.

贡献与 AI 辅助

贡献

School Scotty 是由 Jordi Gartner 维护的 AI 辅助研究计划。

AI 辅助

AI 协助寻找十一个基础标号、完善插入证明、编写检查程序并协助对页面部分内容进行翻译。证明包收录了两份分别完成的 AI 核查报告；尚无外部评审。

参考资料

  1. B. J. Patterson, New Classes of Graceful Spiders and Related Computational Results, MSc thesis, Ball State University (2017), Conjecture 5.4.4
  2. R. I. Rofa, 0-rotatability of classes of rooted symmetric trees (2023)
  3. P. Bahls, S. Lake and A. Wertheim, Gracefulness of families of spiders, Involve 3 (2010)
  4. A. Panpa, S. Imnang and T. Wasuanankul, Graceful Labeling of Spider Graphs With at Most Five Legs, Journal of Applied Mathematics (2025)
  5. MathWorld, Graceful Tree Theorem, 2026 discussion of a label-gap insertion method attributed to E. Pegg Jr. (secondary account)

相关发布

  1. 等长臂蜘蛛树族中的指定零顶点：臂长 3、5、7、9、11

    v2

    以证书与组合构造证明 S(k^n,1^m) 的 0-可旋转性，其中 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0。注明已有构造及已知子族；发表优先权仍未确定。

    · 研究笔记

  2. 有根优美标号图所接两条偶数长度臂上的指定零标号深度

    v1

    对每个偶数 K≥20，取任意有限图 H 及其给定的常规优美标号，在选定且标号为零的根处接上两条各含 K 条边的臂。对任一新臂及每个深度 2≤d≤D8(K)，分别存在一种常规优美标号，使该顶点取零。所保证的深度区间随 K 无界增长。

    · 研究笔记

  3. 等长臂蜘蛛图的指定零深度前缀

    v4

    对每个整数 k≥19、所有 n≥2,m≥0 及 S(k^n,1^m) 中任意选定的长臂，每个深度 2≤d≤D8(k)都能在某个优美标号中取得零。不同请求可以使用不同标号。显式充分前缀包含两种臂长奇偶性，极限比例为 10/11；不主张最优性或历史优先权。

    · 研究笔记

  4. 有根优美标号图所接两条臂上的指定零标号

    v1

    对任意具有常规优美标号的有限图 H，选取标号为 0 的根，并接上两条分别命名、各有 K=23+24t 条边的臂，其中 t≥1。对每条新臂，分别存在常规优美标号，使深度 20+22t 或 21+22t 处取值为 0。

    · 研究笔记

  5. 等长臂蜘蛛的零标号深度区间扩展

    v3

    对于 k=23+24t、n≥2、m≥0 及每个整数 t≥0，实际蜘蛛图命名长臂上深度 17+20t 至 20+22t 的每个选定顶点都可在各自的优美标号中取值 0。当 t≥1 时，深度 21+22t 也有此性质；当 t≥2 时，深度 22+22t 也有此性质。因此，对 t≥5，q24/D8 前缀与 q48 深度合并后覆盖所有深度 1≤d≤22+22t。

    · 研究笔记

  6. 两条根接 119 边臂各内部深度的分别零标号

    v1

    给定有限图及其在选定根处取零的 graceful 标号，在该根处添加两条各含 119 条边的新臂。任一新臂深度 1–118 的每个内部顶点都可在各自的标号中取零。源码还证明了 K=30·4^r−1、r≥1 时八个指定的近端点深度。

    · 研究笔记

  7. 在 graceful 根图上两条 95 边臂的内部位置实现零标号

    v1

    给定任意有限图及其一种通常意义下的 graceful 标号，且该标号在选定根顶点处取零。在此根处添加两条各含 95 条边的臂后，每条新臂上的每个内部顶点都可以在各自的 graceful 标号中取零。

    · 研究笔记

  8. 让任意指定顶点取零：三条七边长臂与中心叶子的蜘蛛树

    v2

    对每个整数 m≥1 及 S(7,7,7,1^m) 中的每个指定顶点，都存在一个使该顶点取零的优美标号。五个基础证书、四个补标号及添加叶子的引理给出证明；发表优先权仍未确定。

    · 研究笔记

  9. 23 边长臂蜘蛛树的零可旋转性

    v1

    对于每个 n ≥ 2 和 m ≥ 0，S(23^n,1^m) 中每个实际存在的顶点都能在一个优美标号中取值 0；每个选定顶点分别使用一个标号。

    · 研究笔记

  10. 25 条边长臂蜘蛛树的零可旋转性

    v1

    对于每个 n ≥ 2 和 m ≥ 0，S(25^n,1^m) 中每个实际存在的顶点都能在一个优美标号中取值 0；每个选定顶点分别使用一个标号。

    · 研究笔记

  11. 臂长为 47 的蜘蛛树的零可旋转性

    v1

    对于每个 n ≥ 2 和 m ≥ 0，S(47^n,1^m) 中每个实际存在的顶点都可以成为一个优美标号中唯一取值为 0 的顶点；每个目标顶点可以使用不同的标号。

    · 研究笔记

  12. 臂长为 71 的蜘蛛树的零可旋转性

    v1

    对于每个 n ≥ 2、m ≥ 0，S(71^n,1^m) 中每个实际存在的顶点都可以成为某个优美标号中唯一取值为 0 的顶点；不同目标可以使用不同的标号。

    · 研究笔记

  13. 95 边长臂蜘蛛图的零可旋转性

    v1

    对于所有 n≥2、m≥0，S(95^n,1^m) 的每个顶点——中心、m 个原始叶顶点中的任一个，或任一条命名的 95 边长臂上的任意位置——都能在各自的优美标号中取值为 0。

    · 研究笔记

  14. 等长偶数臂蜘蛛树的零可旋转性

    v1

    对于每个偶数 k ≥ 2、n ≥ 2 和 m ≥ 0，S(k^n,1^m) 的每个命名顶点都能在某个优美标号中取值 0；每次选定顶点时使用单独的标号。

    · 研究笔记

  15. 三条等长臂为三或四的蜘蛛树的 0-可旋转性

    v7

    对每个整数 m >= 1，S(3,3,3,1^m) 和 S(4,4,4,1^m) 都是 0-可旋转的。十一个明确的基础标号与一个阈值插入引理给出适用于所有 m 的书面证明。

    · 研究笔记

版本历史

版本发布日期更新说明
v12新增适用于所有整数臂长 k≥19、极限比例为 10/11 的连续可置零深度前缀，补齐更多余数类，并提供显式深度界限及可复现的证明源码。
v11已调整“深度覆盖增长”研究札记的链接文字，使其与页面语言一致。
v10新增一种构造：对于满足 k = 2r + 1、s ≥ 1、r ≥ 3s、r ≠ 3s + 1、n ≥ 2、m ≥ 0 的 S(k^n,1^m)，可在长臂深度 4s 和 4s + 1 的指定顶点处实现零标号。保证覆盖的深度数量随 k 增长；这并未证明完全零可旋转性。两个指定零位置分别由不同的优美标号实现。
v9修正了英文和德文中关于现有研究札记与单独 K7 证明归档的表述。
v8删去重复的文献说明，并明确有限程序检查的作用。
v7补充了关于五种奇数臂长 k = 3、5、7、9、11（n ≥ 2、m ≥ 0）的证明札记。
归档原文

增加 k∈{3,5,7,9,11}、n≥2、m≥0 的独立双参数图族札记。原 k=3、4 及 K7 札记保留各自版本和归档。发表优先权未定；德文与中文仍是翻译草稿。

v6补充单独 K7 证书证明，将项目范围扩展为 k∈{3,4,7}、m≥1；更正 Patterson 全文获取状态及已有 α-优美性结果。德文及中文仍为翻译草稿。
v5明确 AI 在研究、证明构建和核查中的作用、内部审查范围及编辑责任。
v4以 School Scotty 作为研究计划署名，并明确 Jordi Gartner 的编辑责任及 AI 的具体贡献。
v3为现有的证据、范围、假设、工具链和审查人信息补充了德文和中文译文。命题、证明、状态及英文原文均未更改，审查状态也保持不变。
归档原文

仅为现有主张的证据、适用范围、假设、工具链和审查者元数据补充德文及中文译文。主张、证明、状态和英文原文均未更改，审查级别也未提升。

v2修订了英语、德语和中文项目概览，并链接了现有研究札记及公开代码库；定理主张、证据和参考资料均未更改。
v1首版项目页面介绍两项经过内部审核的 0-可旋转性定理，适用于三条长度为三或四的长臂且中心带有 m>=1 个叶节点的情形；新颖性和优先权仍未确定。

评论

讨论版本 2

暂无评论。

此版本的评论保留在这里。 在当前版本下评论 →