Für jedes ganzzahlige m >= 1 lässt sich in S(3,3,3,1^m) und S(4,4,4,1^m) jeder vorgegebene Knoten in einer grazilen Beschriftung mit Null versehen. Elf Grundbeschriftungen und ein Schwellen-Einfügelemma beweisen beide Fälle.
Autoren
School Scotty · AI-assisted research program
Forschungsstand
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Version
3
Ergebnis
Für jedes ganzzahlige m >= 1 sind S(3,3,3,1^m) und S(4,4,4,1^m) 0-rotierbar: Jeder vorgegebene Knoten kann in einer grazilen Beschriftung die Null tragen. Die Bäume haben jeweils drei gleich lange Arme und m zusätzliche Blätter am Mittelpunkt. Bei q Kanten verwendet eine grazile Beschriftung die Knotenwerte 0,...,q und die Beträge der Kantendifferenzen 1,...,q, jeweils genau einmal.
Beweisidee
Für m=1 decken fünf konkrete Beschriftungen alle Knotentypen der ersten Familie ab, sechs weitere die der zweiten. Ein Schwellen-Einfügelemma ergänzt anschließend Blatt für Blatt am Mittelpunkt. Dabei bleiben sowohl die erforderlichen Kantendifferenzen als auch der Knoten mit der Null erhalten. Die Induktion liefert die Aussage für jedes m, über die endlich vielen mit den beiliegenden Programmen geprüften Fälle hinaus.
Die Forschungsnotiz enthält die elf Beschriftungen, den Einfügebeweis mit zwei Fällen und die Einordnung der Vorarbeiten. Das Paket enthält die Grunddaten, Python-Prüfprogramme und Quelldateien. SHA-256: 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549.
Im öffentlichen Repository liegen die Grundzertifikate, Prüfprogramme und eine auf GitHub lesbare Kopie der bestehenden Forschungsnotiz.
Geltungsbereich und Vorarbeiten
Patterson formulierte 2017 eine weitergehende Vermutung zur 0-Rotierbarkeit von Spinnenbäumen. Andere Arbeiten behandeln die Graziliät oder 0-Rotierbarkeit verwandter Familien; auch eine ähnliche Methode zum Einfügen einer Beschriftungslücke wurde bereits beschrieben. Unsere gezielte Suche fand die beiden hier bewiesenen Aussagen für alle m nicht; die Publikationspriorität bleibt ungeklärt.
Der Beweis betrifft genau drei lange Arme, sämtlich der Länge drei oder sämtlich der Länge vier, und mindestens ein zusätzliches Blatt am Mittelpunkt.
Aussagen & Nachweise
SPIDER-333-LEAVES-0-ROTATABLEBeweis vorgelegt
Für jede ganze Zahl m >= 1 ist S(3,3,3,1^m) 0-rotierbar: Jeder vorgegebene Knoten kann in einer grazilen Beschriftung die Null tragen.
Formale Verifikation
Keine formale Verifikation
Prüfstatus
Intern geprüft
Nachweis
Fünf Beschriftungszertifikate für m=1 und das Einfügelemma mit festem Schwellenwert; unabhängige interne Prüfung in graceful-spider-three-arms-proof.zip (SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549), audit.md.
Geltungsbereich
Genau drei Arme der Länge 3 und mindestens ein zusätzliches Blatt am Zentrum; für jede ganze Zahl m >= 1. Keine Aussage über beliebige Spinnenbäume oder beliebig viele Arme der Länge 3. Die Publikationspriorität ist ungeklärt.
Annahmen
Bei einer grazilen Beschriftung kommt jede ganze Zahl von 0 bis m+9 genau einmal als Knotenbeschriftung und jede ganze Zahl von 1 bis m+9 genau einmal als Kantendifferenz vor. Der Graph ist S(3,3,3,1^m).
Werkzeuge
Schriftlicher Induktionsbeweis mit elementaren Mitteln; Python 3.12.1 prüft die Grundbeschriftungen und endlich viele Fälle der Invariante. Kein formaler Beweisassistent.
Prüfende Person
Unabhängig durchgeführte interne mathematische KI-Prüfung am 8. Oktober 2026; keine externe oder fachwissenschaftliche Begutachtung.
SPIDER-444-LEAVES-0-ROTATABLEBeweis vorgelegt
Für jede ganze Zahl m >= 1 ist S(4,4,4,1^m) 0-rotierbar: Jeder vorgegebene Knoten kann in einer grazilen Beschriftung die Null tragen.
Formale Verifikation
Keine formale Verifikation
Prüfstatus
Intern geprüft
Nachweis
Sechs Beschriftungszertifikate für m=1 und das Einfügelemma mit festem Schwellenwert; unabhängige interne Prüfung in graceful-spider-three-arms-proof.zip (SHA-256 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549), audit-k4.md.
Geltungsbereich
Genau drei Arme der Länge 4 und mindestens ein zusätzliches Blatt am Zentrum; für jede ganze Zahl m >= 1. Keine Aussage über beliebige Spinnenbäume oder andere Armlängen. Die Publikationspriorität ist ungeklärt.
Annahmen
Bei einer grazilen Beschriftung kommt jede ganze Zahl von 0 bis m+12 genau einmal als Knotenbeschriftung und jede ganze Zahl von 1 bis m+12 genau einmal als Kantendifferenz vor. Der Graph ist S(4,4,4,1^m).
Werkzeuge
Schriftlicher Induktionsbeweis mit elementaren Mitteln; Python 3.12.1 prüft die sechs Grundbeschriftungen und endlich viele Fälle der Invariante. Kein formaler Beweisassistent.
Prüfende Person
Unabhängig durchgeführte interne mathematische KI-Prüfung am 8. Oktober 2026; keine externe oder fachwissenschaftliche Begutachtung.
Beiträge & KI-Unterstützung
Beiträge
School Scotty ist ein von Jordi Gartner betreutes KI-gestütztes Forschungsprogramm.
KI-Unterstützung
KI half dabei, die elf Grundbeschriftungen zu finden, den Einfügebeweis auszuarbeiten, Prüfprogramme zu schreiben und einzelne Passagen der Seite zu übersetzen. Zwei getrennte KI-Prüfungen sind im Beweispaket dokumentiert; eine externe Begutachtung gab es nicht.
Ein Zertifikat- und Kompositionsbeweis der 0-Rotierbarkeit von S(k^n,1^m), k aus {3,5,7,9,11}, n >= 2, m >= 0. Etablierte Bausteine und bekannte Teilfamilien werden gewürdigt; die Publikationspriorität bleibt ungeklärt.
Für jedes gerade K≥20 werden zwei Arme mit jeweils K Kanten an die gewählte, mit null beschriftete Wurzel eines beliebigen endlichen Graphen H mit vorgegebener konventionell graziöser Beschriftung angesetzt. Auf jedem neuen Arm lässt sich für jede Tiefe 2≤d≤D8(K) einzeln eine konventionell graziöse Beschriftung mit null am gewählten Knoten finden. Das garantierte Tiefenintervall wächst unbeschränkt.
Für jede ganze Zahl k≥19, alle n≥2,m≥0 und jeden ausgewählten langen Arm von S(k^n,1^m) kann jede Tiefe 2≤d≤D8(k) in einer grazilen Beschriftung die Null erhalten. Getrennte Anfragen dürfen getrennte Beschriftungen verwenden. Das explizite hinreichende Präfix umfasst beide Paritäten und hat Grenzanteil 10/11; Optimalität oder historische Priorität werden nicht beansprucht.
An einen beliebigen endlichen Graphen H mit konventionell graziöser Beschriftung und gewählter Wurzel mit Label 0 werden zwei benannte Arme mit K=23+24t Kanten angesetzt, wobei t≥1 gilt. Auf jedem neuen Arm kann eine eigene konventionell graziöse Beschriftung die Null in Tiefe 20+22t oder 21+22t platzieren.
Für k=23+24t, n≥2 und m≥0 kann jeder ausgewählte tatsächliche Knoten auf einem benannten langen Arm in den Tiefen 17+20t bis 20+22t für jede ganze Zahl t≥0 in einer eigenen graziösen Beschriftung den Wert 0 erhalten. Für t≥1 gilt dies zusätzlich in Tiefe 21+22t; für t≥2 auch in Tiefe 22+22t. Daraus folgt: Für t≥5 ergeben das q24-/D8-Präfix und der q48-Punkt zusammen alle Tiefen 1≤d≤22+22t.
An eine gewählte Wurzel eines endlichen Graphen mit vorgegebener graziöser Beschriftung und Wurzelwert null werden zwei neue Arme mit je 119 Kanten angefügt. Jede innere Tiefe 1–118 eines Arms kann in einer eigenen Beschriftung den Wert null erhalten. Die Quellen beweisen außerdem acht angegebene Tiefen nahe den Spitzen für K=30·4^r−1, r≥1.
Gegeben sei ein beliebiger endlicher Graph mit einer konventionellen graziösen Beschriftung, die einer gewählten Wurzel den Wert null zuweist. Fügt man an dieser Wurzel zwei Arme mit je 95 Kanten an, kann jeder innere Knoten eines neuen Arms in einer eigenen graziösen Beschriftung den Wert null erhalten.
Für jedes ganze m≥1 und jeden vorgegebenen Knoten von S(7,7,7,1^m) existiert eine graziöse Beschriftung, die diesem Knoten Null zuweist. Fünf Basiszertifikate, vier Komplemente und ein Blatt-Einfügelemma beweisen die Aussage; die Publikationspriorität bleibt ungeklärt.
Für jedes n ≥ 2 und m ≥ 0 kann jeder tatsächlich vorhandene Knoten von S(23^n,1^m) in einer graziösen Beschriftung den Wert 0 erhalten; für jeden ausgewählten Knoten wird eine eigene Beschriftung verwendet.
Für jedes n ≥ 2 und m ≥ 0 kann jeder tatsächlich vorhandene Knoten von S(25^n,1^m) in einer graziösen Beschriftung den Wert 0 erhalten; für jeden ausgewählten Knoten wird eine eigene Beschriftung verwendet.
Für jedes n ≥ 2 und m ≥ 0 kann jeder tatsächlich vorhandene Knoten von S(47^n,1^m) der einzige Knoten mit Wert 0 in einer graziösen Beschriftung sein; für jedes Ziel kann eine eigene Beschriftung verwendet werden.
Für jedes n ≥ 2 und m ≥ 0 kann jeder tatsächlich vorhandene Knoten von S(71^n,1^m) in einer graziösen Beschriftung der einzige Knoten mit Wert 0 sein; für jedes Ziel kann eine eigene Beschriftung verwendet werden.
Für alle n≥2 und m≥0 kann jeder Knoten von S(95^n,1^m)—das Zentrum, jedes der m ursprünglichen Blätter oder jede Position auf einem der benannten Arme mit 95 Kanten—in einer eigenen graziösen Beschriftung den Wert 0 erhalten.
Für jedes gerade k ≥ 2, n ≥ 2 und m ≥ 0 kann jeder benannte Knoten von S(k^n,1^m) in einer graziösen Beschriftung den Wert 0 erhalten; für jeden ausgewählten Knoten wird eine eigene Beschriftung verwendet.
Für jedes ganzzahlige m >= 1 sind S(3,3,3,1^m) und S(4,4,4,1^m) 0-rotierbar. Elf konkrete Grundbeschriftungen und ein Schwellen-Einfügelemma liefern einen Beweis für alle m.
Ergänzt eine Konstruktion für vorgegebene Nullpositionen in den Tiefen 4s und 4s + 1 an langen Armen von S(k^n,1^m), wobei k = 2r + 1, s ≥ 1, r ≥ 3s, r ≠ 3s + 1, n ≥ 2 und m ≥ 0 gilt. Die Zahl der garantierten Tiefen wächst mit k; vollständige Nullrotierbarkeit wird damit nicht gezeigt. Für die beiden Tiefen werden jeweils eigene grazile Beschriftungen des Spinnengraphen verwendet.
Beweisnotiz für die fünf ungeraden Armlängen k = 3, 5, 7, 9 und 11 bei n ≥ 2 und m ≥ 0 hinzugefügt. Archivierter Wortlaut
Ergänzt eine eigene Notiz zur Zweiparameterfamilie für k aus {3,5,7,9,11}, n >= 2, m >= 0. Frühere k=3,4- und K7-Notizen behalten eigene Versionen und Archive. Publikationspriorität ungeklärt; DE/ZH bleiben Übersetzungsentwürfe.
Eigenen K7-Zertifikatsbeweis ergänzt und Projektumfang auf k aus {3,4,7}, m >= 1 erweitert; Patterson-Volltextzugang und frühere Alpha-Grazilität berichtigt. DE/ZH bleiben Übersetzungsentwürfe.
Deutsche und chinesische Übersetzungen der vorhandenen Angaben zu Nachweisen, Geltungsbereich, Annahmen, Werkzeugen und Prüfenden ergänzt. Aussagen, Beweise, Status und englischer Ausgangstext blieben unverändert; auch der Prüfstatus blieb gleich. Archivierter Wortlaut
Deutsche und chinesische Übersetzungen der vorhandenen Metadaten zu Nachweisen, Geltungsbereich, Annahmen, Werkzeugen und Prüfenden ergänzt. Aussagen, Beweise, Status und englischer Quelltext bleiben unverändert; der Prüfstatus wurde nicht angehoben.
Englische, deutsche und chinesische Projektübersicht überarbeitet und die vorhandene Forschungsnotiz sowie das öffentliche Repository verlinkt; die Sätze, Belege und Quellenangaben bleiben unverändert.
Erste Projektseite zu zwei intern geprüften Sätzen über 0-Rotierbarkeit für drei lange Arme der Länge drei oder vier mit m>=1 Blättern am Zentrum; Neuheit und Priorität sind ungeklärt.
Beedbyte
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