Getrennte Nullplatzierungen in jeder inneren Tiefe zweier 119-Kanten-Arme

Sei H ein beliebiger endlicher Graph mit Q Kanten, einer angegebenen Wurzel o und einer vorgegebenen konventionellen graziösen Beschriftung g. Die Knotenlabels sind verschiedene Werte aus 0,…,Q, die absoluten Kantendifferenzen sind genau 1,…,Q, und g(o)=0. Alle Knoten und Kanten von H bleiben erhalten. An o werden zwei getrennt benannte Arme mit je 119 Kanten angefügt; o wird mit Index 119 eines Pfades mit 238 Kanten identifiziert. Für jede Tiefe d=1,…,118 auf jedem der neuen Arme besitzt der gesamte Verbund eine konventionelle graziöse Beschriftung, die dem ausgewählten Knoten den Wert null zuweist. Jedes Ziel erhält eine eigene Beschriftung; die Knotenlabels liegen in 0,…,Q+238 und die Kantendifferenzen sind genau 1,…,Q+238.

Die vorgegebene Wurzelbeschriftung mit Wert null ist eine Voraussetzung. H muss weder zusammenhängend, azyklisch, ein Baum, alpha-beschriftet noch onto-beschriftet sein; Q=0 ist zulässig. Der Satz schreibt weder für die gemeinsame Wurzel noch für eine neue Spitze in Tiefe 119 oder alte Knoten von H den Wert null vor und liefert keine einzelne Beschriftung mit mehreren Nullzielen.

Die Quellen beweisen außerdem eine getrennte Familie nahe den Spitzen. Für jede ganze Zahl r≥1 sei K=30·4^r−1. Unter derselben Voraussetzung eines vorgegebenen graziösen H mit Wurzelwert null besitzt jede Tiefe K−8,…,K−1 auf jedem neu angefügten K-Kanten-Arm eine eigene konventionelle graziöse Beschriftung des gesamten Verbunds mit Kantenbereich 2K+Q. Diese acht Tiefen stammen aus vier Paaren von Quellsätzen. Damit werden weder alle inneren Tiefen für r>1 noch sämtliche ungeraden Armlängen bewiesen.

Der feste K119-Beweis verbindet den beibehaltenen Satz für 1–114 mit terminalen Seed-Beweisen für 115–116 und 117–118. Zertifizierte Alpha-Pfade werden durch etablierte Alpha/graziöse Knoten-Amalgamation angefügt; trägt der gewählte Pfadknoten das Maximum, wird die gesamte Beschriftung komplementiert. Ältere Quellen dieser Verklebung sind Huang–Kotzig–Rosa, wiedergegeben bei Panpa, Imnang und Wasuanankul (2025, Satz 2.5) und Shan–Zhong (2026, Lemma 1). Auch die an Endpunkten angepasste Pfadverkettung ist eine ältere Operation; sie erscheint bei Adamaszek (Lemma 1) und im Beweis von Hicks–Ollis–Schmitt (Lemma 4.5).

Zweimalige Anwendung von Shan–Zhong (Satz 2) liefert bereits die Fälle in Tiefe 1 und 2 für beliebiges H auf jedem der beiden Arme; Luiz–Campos–Richter (2017, Satz 14) behandelt einen Pfad mit einem zentralen Blatt. Diese Operationen und Spezialfälle werden als frühere Arbeit anerkannt. Ob ältere Ergebnisse den gesamten K119-Bereich 1–118 implizieren, bleibt ungeklärt; dazu gehört die vollständige Alpha/Pfad-Konstruktion von Cattell (2007). Ob die vollständige Aussage für die Tiefen 1–118 bereits bekannt war, ist ungeklärt.