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研究 / schur-6

舒尔数 S(6)：核验已发表的 536 项六色着色

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研究进行中。由 AI 智能体编写的有限检验程序复现了 Fredricksen 与 Sweet 发表的 1,...,536 六色划分，并排除了相对于这份特定证书在前 536 个位置至多改色 32 处的 537 扩展。已知下界 S(6) ≥ 536 没有提高；不主张新颖性。

作者
School Scotty · AI-assisted research program
研究状态
进行中
发布日期
版本
2

研究进行中 · 计算复核 · 2026 年 10 月 8 日

已知结果

舒尔数 S(k) 是满足如下条件的最大整数 n：可以把 1,...,n 分成 k 个颜色类，且任一类中都不存在 x+y=z。同一数重复作加数的情形 x=y 也计入。Fredricksen 与 Sweet 于 2000 年发表了 1,...,536 的六色划分，从而确立 S(6) ≥ 536。2026 年 7 月的一篇论文仍将 536 作为已知下界引用。

本页检验这一已发表的构造。这里没有提出更高的下界、上界，也没有声称解决舒尔数问题。

计算结果：复现 536 证书

AI 智能体转录了 2000 年论文中列出的六个集合，并在 Python 检验程序中实现了关于 537 的对称规则。印刷的证书有一个例外：179 属于第 4 类，而与它对称的 358 属于第 1 类。程序明确处理了这个例外。

Python 程序确认 1 到 536 的每个整数恰好有一种颜色，然后检查了所有满足 1 ≤ x ≤ y 且 x+y ≤ 536 的 71,824 个三元组。结果是 零个同色三元组。展开后的六个颜色类大小依次为 129、86、110、77、64、70。这是对 Fredricksen 与 Sweet 已发表证书的有限检验。

关于 537 的局部结果

以这份特定的 1,...,536 着色为基准，尝试给 537 指定颜色。无论选择哪一种颜色，都已经存在同色数对 x+(537−x)=537。颜色 1 至 6 对应的数对数量依次为 64、43、55、38、32、35。对每一种颜色，这些数对彼此不相交。因此，任何有效扩展都必须对前 536 个整数中的至少 32 个重新着色。

恰好改色 32 处也不可能。如果只有 32 处变化，537 必须取颜色 5，并且其 32 个同色互补数对都必须恰好改变一个端点。对于数对 (9,528)，两个端点都无法改成其他任何颜色：每一种改色都会与在“恰好 32 处变化”假设下保持不变的数构成同色三元组。

新颜色 改色 9 会产生 改色 528 会产生
1 1+8=9 1+528=529
2 9+25=34 25+503=528
3 9+60=69 60+468=528
4 4+9=13 4+524=528
6 9+9=18 148+380=528

因此，任何 1,...,537 的有效六色着色，与这份颜色标签固定的特定证书相比，在前 536 个位置中都必须有至少 33 处不同。这只是局部距离下界。它不能证明 537 无法使用六种颜色着色，也不能证明 S(6)=536。一项独立的内部 AI 审核检查了这个有界论证；它不是外部审查或同行评审。

复现检验

准备好的 schur6-536-reproduction.zip 包含转录的 JSON 数据、verify.py、exact32.py、README、搜索记录以及单独的内部审核报告。ZIP 的 SHA-256 为 bf017ebcc8d53d2938de89ceb1abdd3e4bbf2b2f3e10d3598ea602e45986e20b。仅 JSON 数据的 SHA-256 为 423b50378ca8c09b5909c244216a857b30d577ff6bef6e98635329ff432e0912。

从本页的文件区域下载并解压后，使用 Python 3.12 或兼容的 Python 3 版本运行 python verify.py 和 python exact32.py。2026 年 10 月 8 日的运行中，前者返回 PASS，后者返回 radius_32_shell_excluded: true。两个程序直接枚举有限约束，不需要 SAT 求解器。

下一步问题

下一步研究是针对 537 及以上的、经过独立核验的约束搜索或数学限制。本项目尚未对 1,...,537 的全部六色着色进行完整搜索。未来的任何候选结果都需要单独的穷尽式证书检查和注明日期的报告。

当前检验属于内部计算工作。它既不是证明助手中的形式化证明，也没有经过外部审查或同行评审。独立的内部审核依据所提供的 JSON 数据重建了有限检验；它没有把每个转录的整数逐项与原论文核对。原始下界应归功于 Fredricksen 与 Sweet。

陈述与证据

SCHUR6-536-REPRODUCTION 观察

Fredricksen–Sweet 的六色证书将 1,...,536 中的每个数恰好分配一次，且不存在满足 1 ≤ x ≤ y、x+y ≤ 536 的同色 x+y=z；本项目的检验程序检查了全部 71,824 个这样的三元组。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
Fredricksen and Sweet (2000), Constructions, printed partition of 536; project package schur6-536-reproduction.zip SHA-256 bf017ebcc8d53d2938de89ceb1abdd3e4bbf2b2f3e10d3598ea602e45986e20b; source JSON SHA-256 423b50378ca8c09b5909c244216a857b30d577ff6bef6e98635329ff432e0912; python verify.py returned PASS on 2026-10-08. audit-exact32.md independently reconstructed the finite check from the JSON but not the source transcription.
范围
This one published six-color partition of the finite interval 1..536. It establishes only the already known lower bound S(6)≥536.
假设
Sum-free means no x+y=z within one color class, including x=y. Symmetry expansion about 537 uses the explicit 179/358 exception in the printed certificate.
工具链
Python 3.12; direct exhaustive triple enumeration.
审查者
Internal AI-assisted computational check; no external reviewer.

SCHUR6-537-RADIUS32-EXCLUSION 已提供证明

任何 1,...,537 的有效六色着色，与这份颜色标签固定的特定 Fredricksen–Sweet 证书相比，在 1,...,536 中都至少有 33 个位置的颜色不同。

形式化验证
无形式化验证
审查状态
内部核查
证据
verify.py counts disjoint same-color 537-pairs by color: 64,43,55,38,32,35. Thus <=32 changes forces color 5 at 537 and one changed endpoint of each of its 32 pairs. search-notes.md gives ten fixed-entry triples blocking every alternative color for both endpoints of (9,528); exact32.py checks this obstruction and returns radius_32_shell_excluded=true. audit-exact32.md records an independent internal AI reconstruction on 2026-10-08. Package SHA-256 bf017ebcc8d53d2938de89ceb1abdd3e4bbf2b2f3e10d3598ea602e45986e20b.
范围
Hamming distance from the exact labeled Fredricksen–Sweet partition of 1..536 to any valid 537-coloring. This does not exclude more distant six-colorings of 1..537 or imply S(6)=536. No publication-priority claim.
假设
Six labeled colors; sum-free forbids x+y=z including x=y. At most 32 of the first 536 entries are recolored relative to the published certificate.
工具链
Python 3.12; direct pair enumeration and fixed-triple obstruction check; no formal proof assistant.
审查者
Independent internal AI mathematical audit, 2026-10-08; no external or peer reviewer.

文件与复现

校验和用于识别确切文件。代码仅作为下载文件提供，本站不会执行这些代码。

  • Schur 6 reproduction package ZIP

    schur6-536-reproduction.zip · 8.4 KiB

    SHA-256bf017ebcc8d53d2938de89ceb1abdd3e4bbf2b2f3e10d3598ea602e45986e20b

贡献与 AI 辅助

贡献

536 项六色证书及原始下界应归功于 Harold Fredricksen 和 Melvin M. Sweet。这个 AI 辅助项目复现了他们的结果；不声称存在另行取得的人类数学发现。

AI 辅助

AI 智能体转录了印刷的划分，编写并运行两个有限检验程序，查阅了所引来源，在内部审核了这一有界论证，并核查了所述代码和证明。单独的内部审核没有把每个转录的整数逐项与原论文独立核对。本工作没有经过外部审查或同行评审。

参考资料

  1. Harold Fredricksen and Melvin M. Sweet, Symmetric Sum-Free Partitions and Lower Bounds for Schur Numbers, Electronic Journal of Combinatorics 7 (2000), R32
  2. Nils Bengone et al., Shifted S-templates and improved lower bounds for Schur numbers, arXiv:2607.15034 (2026)

相关发布

此项目尚无相关文稿。

版本历史

版本发布日期更新说明
v7更新了发布信息。
v6明确 School Scotty 为公开研究署名，并明确 Jordi Gartner 的编辑责任；所述 AI 贡献保持不变。
v5新增公开 Schur 6 仓库已记录、并经内部核查的条件性局部至少 34 处改色下界及修正后的复现 ZIP；保留先前至少 33 处的结果、归属、披露和文件。
v4以 School Scotty 作为研究计划署名，明确编辑责任和 AI 贡献，并链接仓库中另行证明的条件性局部至少 34 处改色结果；本页至少 33 处改色的命题与下载包保持不变。
v3为现有的证据、范围、假设、工具链和审查人信息补充了德文和中文译文。命题、证明、状态及英文原文均未更改，审查状态也保持不变。
归档原文

仅为现有主张的证据、适用范围、假设、工具链和审查者元数据补充德文及中文译文。主张、证明、状态和英文原文均未更改，审查级别也未提升。

v2补充德语和中文译文；两者仍标记为草稿。
归档原文

补充了在 AI 辅助下完成的德语和简体中文项目字段译文，包括两项主张陈述和披露说明。译文审查状态仍为“草稿”。英文贡献说明澄清该证书在 1,...,536 上使用六种颜色；其他英文字段及文件 5 均未更改。

v1首版公开的在研项目页面，包含精确复现 ZIP 包、已知的 S(6) >= 536 证书，以及经过内部审核的局部重着色距离至少为 33 的结果。未声称改进 Schur 下界、证明 537 不可能、具有新颖性或经过外部审查。

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