舒尔数 S(6)：已发表的 536 证书与 537 处的局部距离下界

局部距离下界 · 计算复核 · 2026 年 10 月 8 日

已知结果

舒尔数 S(k) 是满足如下条件的最大整数 n：可以把 1,...,n 分成 k 个颜色类，且任一类中都不存在 x+y=z。同一数重复作加数的情形 x=y 也计入。Fredricksen 与 Sweet 于 2000 年发表了 1,...,536 的六色划分，从而确立 S(6) ≥ 536。2026 年 7 月的一篇论文仍将 536 作为已知下界引用。

本页检验这一已发表的构造。这里没有提出更高的下界、上界，也没有声称解决舒尔数问题。

计算结果：复现 536 证书

AI 智能体转录了 2000 年论文中列出的六个集合，并在 Python 检验程序中实现了关于 537 的对称规则。印刷的证书有一个例外：179 属于第 4 类，而与它对称的 358 属于第 1 类。程序明确处理了这个例外。

Python 程序确认 1 到 536 的每个整数恰好有一种颜色，然后检查了所有满足 1 ≤ x ≤ y 且 x+y ≤ 536 的 71,824 个三元组。结果是 零个同色三元组。展开后的六个颜色类大小依次为 129、86、110、77、64、70。这是对 Fredricksen 与 Sweet 已发表证书的有限检验。

关于 537 的局部结果

以这份特定的 1,...,536 着色为基准，尝试给 537 指定颜色。无论选择哪一种颜色，都已经存在同色数对 x+(537−x)=537。颜色 1 至 6 对应的数对数量依次为 64、43、55、38、32、35。对每一种颜色，这些数对彼此不相交。因此，任何有效扩展都必须对前 536 个整数中的至少 32 个重新着色。

恰好改色 32 处也不可能。如果只有 32 处变化，537 必须取颜色 5，并且其 32 个同色互补数对都必须恰好改变一个端点。对于数对 (9,528)，两个端点都无法改成其他任何颜色：每一种改色都会与在“恰好 32 处变化”假设下保持不变的数构成同色三元组。

因此，任何 1,...,537 的有效六色着色，与这份颜色标签固定的特定证书相比，在前 536 个位置中都必须有至少 33 处不同。这只是局部距离下界。它不能证明 537 无法使用六种颜色着色，也不能证明 S(6)=536。一项独立的内部核查检查了这个有界论证。

Schur 6 仓库提供下文所述更强局部结果的公开源码。

复现检验

准备好的 schur6-536-reproduction.zip 包含转录的 JSON 数据、verify.py、exact32.py、README、搜索记录以及单独的内部审核报告。ZIP 的 SHA-256 为 bf017ebcc8d53d2938de89ceb1abdd3e4bbf2b2f3e10d3598ea602e45986e20b。仅 JSON 数据的 SHA-256 为 423b50378ca8c09b5909c244216a857b30d577ff6bef6e98635329ff432e0912。

从本页的文件区域下载并解压后，使用 Python 3.12 或兼容的 Python 3 版本运行 python verify.py 和 python exact32.py。2026 年 10 月 8 日的运行中，前者返回 PASS，后者返回 radius_32_shell_excluded: true。两个程序直接枚举有限约束，不需要 SAT 求解器。

第 5 版更新：排除改色 33 处的扩展

先前的论证已经证明：相对于这份颜色标签固定的特定证书，局部改色数至少为 33。新的问题是恰好改色 33 处是否足够。相同的互补数对计数迫使 537 取颜色 5：若取其他颜色，至少需要改色 35 处。颜色 5 的 32 个互不相交数对各自要求至少改变一个端点。因此，在这 64 个端点之外，最多还能改变一个位置。额外的一次改色也可能落在某个数对的第二个端点，此时所有外部位置都保持不变。

被迫处理的数对 (9,528) 排除了这两种可能。无论改变哪个端点，也无论把它改成其余五种颜色中的哪一种，都会出现两个不同的同色三元组。下表每一行中，除被改色端点外的数字都在 64 个强制数对端点之外；这两组其他数字互不相交。

对任何改色选择，要同时消除两个阻碍，必须在这 64 个端点之外至少再改色两处；但最多只允许一处。因此，任何 1,...,537 的有效六色着色，与这份针对 1,...,536、颜色标签固定的特定证书相比，在 1,...,536 中都必须有至少 34 处不同。这不能证明距离为 34 时存在扩展，也不能证明 1,...,537 存在任何六色着色，更不能证明 S(6)=536。已知下界 S(6) ≥ 536 没有提高。

新包 schur6-536-radius33-reproduction.zip 包含先前的证书和检验，以及 exact33.py、audit33.py、audit-exact33.md。其 SHA-256 为 31bc175813971f6985a3b74f306bb51006e1885d84b18e1ec1739533ea57eae9。从本页文件区域下载并解压后，运行 python exact33.py 和 python audit33.py。前者返回 radius_33_shell_excluded: true；后者在核验全部 20 个明确列出的阻碍三元组后返回 PASS。一项单独的内部核查重建了论证，并核对了列出的全部 20 个见证。随后的一次来源比对将证书中印出的全部 269 个条目与出版社 PDF 逐项核对。

下一步问题

下一步研究是针对 537 及以上的、经过独立核验的约束搜索或数学限制。本项目尚未对 1,...,537 的全部六色着色进行完整搜索。未来的任何候选结果都需要单独的穷尽式证书检查和注明日期的报告。

这是内部计算工作，尚未经过外部同行评审，也未通过证明助手进行形式化验证。原始下界应归功于 Fredricksen 与 Sweet。