等长臂蜘蛛图中不断增长的指定零顶点深度覆盖

Version gd-2026-10-09-v1.1 · 9 October 2026.

摘要

我们给出一个显式构造，为等长臂蜘蛛图提供随臂长增长的一组指定零标号位置。设整数 s>=1、r>=3s 且 r!=3s+1，令 k=2r+1。该构造得到路径 P_(2k+1) 的 α 标号，其中中点标号与阈值均为 k-1，同一侧臂上深度 4s 处的标号为零，相邻深度 4s+1 处的标号为最大值 2k。两个端点的标号分别为 (3k-1)/2 和 (3k+1)/2。利用已有的 α 合并构造与取补操作，对每个整数 n>=2、m>=0，以及 S(k^n,1^m) 中任意指定的、位于长臂深度 4s 或 4s+1 的顶点，均可得到将该顶点标为零的优美标号。两种零位置使用不同的标号。对每个奇数 k>=11，至少覆盖 2 floor((k-5)/6) 个不同深度。这只是指定零位置的部分覆盖；数学优先权尚未确定。

适用范围

S(k^n,1^m) 有 n 条长度为 k 的臂和 m 条长度为一的臂，长度按边数计。深度指距指定中心的距离；这一定义也适用于 n=2,m=0 的路径情形。对每组允许的参数及上述两种深度中的每个指定顶点，存在一个使该顶点标号为零的标号方案。方案可以随指定顶点而变化，并非在同一个标号中将两个顶点同时标为零。

固定 r 时，准确的指标集合为 I_r={s>=1:3s<=r and r!=3s+1}。统一下界涵盖所有深度 {4s,4s+1:1<=s<=floor((k-5)/6)}。若 k=6t+1，准确构造还允许 s=t。排除 r=3s+1 只是本公式的限制，不是不可能性定理。本文不声称覆盖全部深度、证明完全零可旋转性、适用于所有蜘蛛图，或在每个零位置都存在 α 标号。已有的中心零标号及其他边界深度构造属于独立的已知结果。

证据与审查

另一名 AI 智能体独立重建了适用于全部参数的证明，包括排列、路径扩展及蜘蛛图合并论证。它复现了保存的 156 个路径和 960 个蜘蛛图标号，核查了另外 7,710 组路径参数和 7,040 个蜘蛛图标号，并拒绝了 13 个负面测试用例。无界结论依据该证明；有限核查支持构造及文件完整性。这是内部审查，尚无人工数学证明审查。针对性文献比较未发现同时满足全部条件的已核查陈述，但 Cattell 的完整构造及较早文献仍有获取缺口，历史优先权和可能的已有涵盖仍未确定。

贡献与先前工作

经典 Walecki 顺序、较早的路径和 α 标号构造、中心零标号以及 Huang–Kotzig–Rosa 的 α 合并方法均为已有成果。Patterson 与 Rofa 记录了相关构造；目前对 Huang–Kotzig–Rosa 的归属说明依据后续文献。先前研究已覆盖 n=2,m=0 和 n=2,m=1 情形中的所有指定零位置。

一名 AI 智能体推导了此公式和证明；另有 AI 智能体重建数学论证、核查证书并审查文献。英文发布表述以及德文、中文翻译也使用了 AI 辅助。公开研究署名为 School Scotty；Jordi Gartner 负责编辑发布。

证明与来源文件

证明 · 内部独立审查 · 文献比较

证明归档 — SHA-256 3be4ef1da7645c2e8024ebf8b126434c1554e50a67dfbaa5051f7a830b86d450; 360302 bytes.