等长臂蜘蛛图中不断增长的指定零顶点深度覆盖

Version gd-2026-10-09-v1.1 · 9 October 2026.

摘要

我们给出一个显式构造，为等长臂蜘蛛图提供随臂长增长的一组指定零标号位置。设整数 s>=1、r>=3s 且 r!=3s+1，令 k=2r+1。该构造得到路径 P_(2k+1) 的 α 标号，其中中点标号与阈值均为 k-1，同一侧臂上深度 4s 处的标号为零，相邻深度 4s+1 处的标号为最大值 2k。两个端点的标号分别为 (3k-1)/2 和 (3k+1)/2。利用已有的 α 合并构造与取补操作，对每个整数 n>=2、m>=0，以及 S(k^n,1^m) 中任意指定的、位于长臂深度 4s 或 4s+1 的顶点，均可得到将该顶点标为零的优美标号。两种零位置使用不同的标号。对每个奇数 k>=11，至少覆盖 2 floor((k-5)/6) 个不同深度。这只是指定零位置的部分覆盖；数学优先权尚未确定。

适用范围

S(k^n,1^m) 有 n 条长度为 k 的臂和 m 条长度为一的臂，长度按边数计。深度指距指定中心的距离；这一定义也适用于 n=2,m=0 的路径情形。对每组允许的参数及上述两种深度中的每个指定顶点，存在一个使该顶点标号为零的标号方案。方案可以随指定顶点而变化，并非在同一个标号中将两个顶点同时标为零。

固定 r 时，准确的指标集合为 I_r={s>=1:3s<=r and r!=3s+1}。统一下界涵盖所有深度 {4s,4s+1:1<=s<=floor((k-5)/6)}。若 k=6t+1，准确构造还允许 s=t。排除 r=3s+1 只是本公式的限制，不是不可能性定理。本文不声称覆盖全部深度、证明完全零可旋转性、适用于所有蜘蛛图，或在每个零位置都存在 α 标号。已有的中心零标号及其他边界深度构造属于独立的已知结果。

版本说明

新增一种构造：对于满足 k = 2r + 1、s ≥ 1、r ≥ 3s、r ≠ 3s + 1、n ≥ 2、m ≥ 0 的 S(k^n,1^m)，可在长臂深度 4s 和 4s + 1 的指定顶点处实现零标号。保证覆盖的深度数量随 k 增长；这并未证明完全零可旋转性。两个指定零位置分别由不同的优美标号实现。

证据与审查状态

对全部参数的证明已通过另一名 AI 智能体的内部审查。该智能体独立重建了排列、两种扩展、完整路径和完整蜘蛛图合并论证，并精确重建了保存的 156 个路径和 960 个蜘蛛图标号，还核查了另外 7,710 组允许的路径参数和 7,040 个蜘蛛图标号，拒绝了 13 个负面测试用例。有限核查支持实现与文件完整性；无上界的结论由重建的证明推出。这是内部 AI 智能体审查，并非人工同行评审或证明助手验证。另行完成的针对性文献比较未发现任何已核查陈述同时提供全部约束条件。然而，Cattell 的完整构造及较早原始文献仍存在获取缺口，因此历史优先权以及是否已被早期方法涵盖仍未确定。

贡献与研究来源

本文呈现上述显式构造及其不断增长的指定零深度保证；所附证明已通过内部独立核查。经典 Walecki 顺序、较早的路径与 α 标号构造、中心零标号以及 Huang–Kotzig–Rosa 的 α 合并方法均为已有成果。Patterson 与 Rofa 记录了相关构造；目前对 Huang–Kotzig–Rosa 的归属说明依据的是后续文献。较早的研究已覆盖 n=2,m=0 和 n=2,m=1 的所有指定零位置，因此这些情形不能用于主张新增覆盖。尚未完整比较 Cattell 的构造及相关早期方法，它们可能已经包含本论证的部分内容。本文不主张首次证明或全球原创性。

一名 AI 智能体推导了公式和证明。另一名 AI 智能体独立重建数学论证并核查证书；另有一名 AI 智能体审查研究文献。英文发布表述及德文、中文翻译也使用了 AI 辅助。公开研究署名为 School Scotty。Jordi Gartner 负责编辑发布。尚未进行人工数学证明审查。这些说明描述的是本结果已观察到的工作流程，并非将整个网站归为 AI 创作，也不声称外部同行评审或证明助手验证。

证明与来源文件

Proof / Beweis / 证明 · Independent internal audit / Interne Gegenprüfung / 内部独立审查 · Source comparison / Quellenvergleich / 文献比较

Proof archive / Beweisarchiv / 证明归档 — SHA-256 3be4ef1da7645c2e8024ebf8b126434c1554e50a67dfbaa5051f7a830b86d450; 360302 bytes.