三条等长臂为三或四的蜘蛛树的 0-可旋转性

研究札记

本札记属于三条等长长臂：长度三与四的 0-可旋转性项目。

定理与定义

令 k 为 3 或 4，m >= 1 为整数。S_(k,m)=S(k,k,k,1^m) 表示这样一棵树：中心为 c，有三条长臂 a_i1,...,a_ik（i=0,1,2，下标依次远离中心），另有 m 个直接连接 c 的叶子 p_0,...,p_(m-1)。它有 q=3k+m 条边。优美标号是从顶点到 {0,...,q} 的双射，其边两端标号的绝对差恰好构成 {1,...,q}。

定理 A 与 B。 对每个 k 属于 {3,4} 以及每个整数 m >= 1，S_(k,m) 都是 0-可旋转的：给定任意顶点 v，存在一个优美标号使 f(v)=0。这里不对其他 k 作出断言。

定理 A：长臂长度为三时的五个基础证书

当 k=3、m=1 时，下表为图的每个对称性顶点类给出一个标号。每组三元组按离中心的距离列出深度 1、2、3 的标号。t 是下文插入步骤中保持不变的阈值；d 是下一个新叶子边的差。

每行都将顶点标号 0,...,10 恰好使用一次。若边的两个端点标号都不超过 t，或都大于 t，就称其为同侧边；否则称为跨阈值边。直接计算得到以下互不相交的差值区间，且每个区间中的每个差值都恰好出现一次。

因此每行都是优美标号。证明包中的精确检查程序和独立审查按排序后的列表检查每一条边，避免只比较集合时遗漏重复差值。

两个定理共用的阈值插入引理

设树 T 有 q 条边，具有优美标号 f；准备在顶点 c 增加一个叶子，固定整数 0 <= t <= q。定义

当 f(c)<=t 时，d=t+1-f(c)；当 f(c)>t 时，d=f(c)-t。

假设同侧边的差值恰好各出现一次 1,...,d-1，而跨阈值边的差值恰好各出现一次 d,...,q。在 c 加一个新叶子，将每个大于 t 的旧顶点标号加一，并把 t+1 给新叶子：

旧顶点满足 f+(v)=f(v)+1_[f(v)>t]；新叶子满足 f+(新叶子)=t+1。

旧标号变成 0,...,t,t+2,...,q+1；新叶子填补唯一缺口。原有同侧边的差值保持不变；每条原有跨阈值边的差值增加一。新叶子边的差值是 d。因此新图的边差恰好各一次地构成 1,...,d-1、d 和 d+1,...,q+1。

区间假设在同一个阈值 t 下继续成立：

1. 若 f(c)<=t，中心仍在低侧，新叶子在高侧。新边跨阈值，差值为 d。同侧区间仍是 1,...,d-1；旧跨阈值区间变成 d+1,...,q+1。加入新边后，跨阈值区间为 d,...,q+1。d 保持不变。
2. 若 f(c)>t，中心标号增加一，中心和新叶子都在高侧。新边为同侧边，差值为 d。新参数是 d'=d+1；同侧区间为 1,...,d（即 1,...,d'-1），跨阈值区间为 d'=d+1,...,q+1。

因此可以任意多次应用这一不变量。零仍留在原顶点，因为 0 从不大于 t，而新叶子的标号 t+1 为正。

把该引理反复用于长臂长度为三的五个基础行。它们覆盖中心、长臂深度 1 到 3，以及一个短的中心叶子。置换三条长臂或中心叶子，可将任意指定顶点对应到适当的零标号代表。因此定理 A 对所有 m >= 1 成立。

定理 B：长臂长度为四时的六个基础证书

当 k=4 时，对 m=1、q=13 的另外六个基础行应用同一引理。每个四元组依次列出深度 1 到 4 的顶点标号。每行都恰好使用 0,...,13 的所有顶点标号，且边差恰好为 1,...,13。最后两列分别给出固定阈值和下一条叶子边的差值。

这些行的同侧边差值依次为 1,...,13、1,...,7、1,...,6、1,...,9、1,...,2 和 1,...,12。跨阈值边的差值分别为互补的连续区间 d,...,13（中心那一行为空）。k4_bases.json、k4_verify.py 和单独的 audit-k4.md 确认每个差值都恰好出现一次。

因此阈值不变的引理可将全部六行扩展到每个 m >= 1，零保留在原顶点。这六个对称性类分别是中心、长臂深度 1 到 4、以及一个中心叶子。置换长臂和中心叶子便覆盖任意指定顶点，从而证明定理 B。

如何核对基础标号

下载包 graceful-spider-three-arms-proof.zip 包含两组基础数据、verify_proof.py、k4_verify.py、搜索程序、证明与文献笔记、两份独立核查报告，以及 BUNDLE-README.md。其 SHA-256 为 86b4e0f5c01a8f43a4579894e891a3ef362c675280ca70a75b9df790b064b549。解压后运行 python verify_proof.py 和 python k4_verify.py。2026 年 10 月 8 日，Python 3.12.1 核对了两个图族的全部基础标号，并将区间不变量检查到 m=100。对所有 m 的结论来自上文的引理和顶点类型论证。

下载包中的两份独立核查报告没有导入项目检查程序，而是重新构造基础情形；两份报告均对所述构造给出 PASS。

与先前工作的关系

Patterson 于 2017 年提出范围更广的蜘蛛树 0-可旋转性猜想（Conjecture 5.4.4），其中有一类例外。论文报告的有限枚举包含本文两类树的若干小规模实例，却不能解决任意 m 的情形。我们未能逐页核对其完整论文；若拟以原创成果投稿，应先查证猜想原文。Rofa 2023 年的结果涉及有根对称树和各臂等长的蜘蛛树。Bahls、Lake 和 Wertheim 证明了相关蜘蛛树较弱的优美性结论。类似的标号空位插入方法此前也已有公开描述。

定向检索没有找到这两个对所有 m 成立的完全相同命题，但尚不能确定发表优先权。本证明仅涉及整数 m >= 1 时的 S(3,3,3,1^m) 和 S(4,4,4,1^m)。