让任意指定顶点取零：三条七边长臂与中心叶子的蜘蛛树

本文是英文原稿的中文翻译草稿，仍需人工语言审阅。

对每个整数 m ≥ 1，蜘蛛树 S(7,7,7,1^m) 都具有 0-可旋转性：任意指定顶点都可以在某个优美标号中取值零。五个明确列出的基础标号、四个补标号，以及一条添加叶子的初等规则，给出了适用于每个 m 的证明。书面证明与独立实现的内部检查程序已经在本地接受审查。发表优先权仍未确定。

这棵树由一个中心、从中心出发的三条各含七条边的路径，以及直接连接中心的 m 个额外叶子组成。它有 q=21+m 条边和 q+1=22+m 个顶点。优美标号是从顶点到 {0,…,q} 的双射，使各条边两端标号的绝对差恰好将 {1,…,q} 中的每个整数使用一次。对于不同的指定零顶点，可以使用不同的标号。定理并不要求同一个标号把多个顶点同时标成零。

本文属于现有的 Graceful spider 研究项目。此前发布的研究札记处理长臂长度三和四。本文证明的情形是长臂长度七，并且至少有一个额外的中心叶子。本文不对 m=0、任意臂长、其他长臂数量或所有蜘蛛树作出断言，也不声称每个指定零顶点都能出现在某个 α-标号中。

一个小证书如何覆盖无限族

只需处理九类顶点：中心、长臂上的深度 1 至 7，以及一个短的中心叶子。中心是唯一度数大于二的顶点。到中心的距离区分七种深度；度数则区分短叶子与长臂深度 1 的顶点。三条长臂之间的置换、短叶子之间的置换，都能在同一类中移动顶点。这九类正是图自同构作用下的九个顶点轨道。

下表给出 m=1 时的五个基础证书，此时 q=22。每条臂的元组从靠近中心的位置向外排列。p₀ 是原有的短叶子。若一条边的两端标号都不大于阈值 t，或都大于 t，就称它位于阈值的同一侧；否则称它跨越阈值。用 c 表示中心标号：当 c>t 时令 d=c-t，否则令 d=t+1-c。

每一行恰好使用一次 0,…,22。它的边差也恰好使用一次 1,…,22，其中包括中心到每条臂第一个顶点的边。下列明细可直接人工核对，无需运行程序。

把每个标号 x 换成 22-x，所有边差都保持不变。把阈值换成 21-t，阈值两侧互换，而 d 保持不变。这些补标号提供了中心及深度 2、4、6 的证书。在深度 1、3、5 的基础行中，最大标号 22 分别位于深度 2、4、6，因此补标号使那些位置变成零。这里使用的阈值都在 0,…,21 内，所以补标号的阈值也适用于下文保留零位置的构造。

每个区间都表示其中每一个边差恰好出现一次。这个条件比仅有优美性更强，也是扩展成立的依据。

添加叶子的引理

设一棵有 Q 条边的树具有优美标号 b，并选定一个标号为 c 的顶点。取整数 0≤t≤Q，按上述定义得到 d。假设同侧边差恰好为 1,…,d-1，跨阈值边差恰好为 d,…,Q，各出现一次。

对于任意整数 n≥0，在指定顶点添加 n 个新叶子。对旧顶点定义

若 b(v)≤t，则 f(v)=b(v)；若 b(v)>t，则 f(v)=b(v)+n。

令新叶子的标号为 t+s，其中 1≤s≤n。旧的低标号、新标号及旧的高标号依次占据互不相交的区间 [0,t]、[t+1,t+n] 和 [t+n+1,Q+n]。因此从零到 Q+n 的每个标号恰好出现一次。原来的零仍留在同一顶点。

旧的同侧边差保持为 1,…,d-1。旧的跨阈值边差增加 n，成为 d+n,…,Q+n。当 c>t 时，指定顶点的新标号为 c+n，新叶子边的差为

(c+n)-(t+s)=d+n-s。

当 c≤t 时，其差为

(t+s)-c=d+s-1。

无论哪种情形，随着 s 取遍 1,…,n，这些边差都恰好遍历缺失区间 d,…,d+n-1 一次。若 n=0，该区间为空。三个边差区间互不相交，合起来恰好为 1,…,Q+n。这直接证明了引理对每个 n 都成立。

对九个基础证书分别取 Q=22、n=m-1。所得树就是 S(7,7,7,1^m)，而基础证书中的零位置保留。置换长臂或短叶子，可以把零移到同一轨道内任意指定顶点。因此对每个 m≥1 都得到所述的 0-可旋转性。

例如，取深度 1 的基础行，令 m=3。把大于 2 的旧标号都增加 2，再添加标号为 3 和 4 的叶子。中心变为 22，新边差为 19 和 18，旧同侧边差仍为 1,…,17，旧跨阈值边差则变为 20,…,24。零仍位于深度 1。这个例子说明构造公式；适用于无限多个 m 的结论来自引理。

与已有结果的关系

整个图族的优美性已被 Brandon J. Patterson 2017 年的硕士论文覆盖。其 Theorem 3.3.8 还证明：当长度大于 1 的臂至多有三条，且至少一条臂的长度大于 2 时，该蜘蛛树是 α-优美的。α-标号是一种优美标号，存在一个被每条边跨越的阈值；它的存在并不指定任意零顶点。论文的 Conjecture 5.4.4 猜想 S(3,1,1,…) 以外的蜘蛛树都具有 0-可旋转性。本文的图族是这一较早猜想的一个特例。完整的 104 页 PDF 可见 Ball State University 学术库。

若干零位置也已可由 Patterson 的结果推出。先移除一条指定的七边长臂，其余两条长臂形成 P₁₅。论文以 Theorem 3.1.3 引用的路径结果允许其中点取零。给短叶子依次添加新的最大标号后，剩余蜘蛛树仍具有中心零标号。Theorem 5.3.6 的可逆叶子约化可以重建被移除的臂，并使其末端为零。该末端的邻居必为最大标号，因为只有零与最大标号之间的边才能产生边差 q。取补标号即可在深度 6 得到零。这些是从所引结果作出的推导，并不是论文中逐字陈述的本图族定理。中心零和短叶子零也可由已知中心零构造与初等叶子扩展得到。Patterson 的有限枚举只覆盖至多 16 个顶点，而本文最小的树有 23 个顶点。

**Panpa、Imnang 与 Wasuanankul（2025）**证明三臂蜘蛛树可令中心为零（Theorem 3.2）、四臂蜘蛛树可令任意指定叶子为零（Theorem 3.3），以及五臂蜘蛛树的优美性（Theorem 3.4）。四臂结果直接处理 m=1 时的叶子，五臂结果处理 m=2 时的优美性。这些结论并未给出对所有 m、所有七种长臂深度的零标号。参见原始论文。

**Shan 与 Zhong（2026）**在 Theorem 5 中证明：若除三条臂外，其余臂长均不超过二，则蜘蛛树优美。本文每一棵树都满足这一条件。所引定理断言优美性，并不声称任意指定顶点都能取零。参见 arXiv:2605.14295v2。

与这些已经明确核查的陈述及推导相比，本文证书证明在九个轨道中还覆盖了深度 1 至 5 的五种内部位置。这种比较并不能证明原创性。本文不主张定理、基础表或一般标号留隙方法的优先权。审阅材料中的来源清单 SOURCES.md 记录了更广泛的比较以及文献审阅的限度。

如何复核

证明压缩包保留原始文件结构。解压后，从其根目录运行以下命令即可；需要 Python 3.10 或更新版本，无需额外软件包：

cd repro
python research-audits/graceful-k7-feasibility/verify-continuation.py
python research-audits/graceful-k7-independent/independent_check.py

第一个程序检查九个基础证书、阈值区间、精确的仿射边差公式、约化后的末端证书，以及 m=1,…,100 的 900 个具体标号。末尾摘要包含 9 of 9 zero-label orbits verified; reduced tip witness PASS.

第二个程序使用不同的顶点表示，按臂长重建图，既不导入原检查程序，也不导入搜索程序。它检查顶点与边差的多重集、适用于任意非负插入数量的精确公式、54 个明确扩展，以及在 m=1,2,5 时把零移到每一个顶点的 74 次检查。它还测试一个故意错误的阈值及较小树的诊断实例。最后输出 GO for mathematical statement; novelty not assessed. 程序会在自身所在目录写入 audit-results.json，因此解压目录需要写入权限。

JSON 证书和两个检查程序足以复核基础数据，不必重跑搜索。覆盖所有 m 的结论来自公式与区间证明；有限诊断用于发现代码或抄录错误。复现清单与核查记录记录文件哈希和实际检查。证明归档 SHA-256：f5bc44be564bdf7e2c3ad648e023c03ebd203c52873c35cb76c6e156cad0048e。

Jordi Gartner 通过 Beedbyte 发布这项工作。 搜索、证明推导与核查、代码检查、文本准备以及德文和中文翻译草稿使用了 AI 辅助。独立实现的检查程序及数学审查都属于内部工作，并非外部同行评审，也不是证明助手中的形式化验证。Jordi Gartner 负责编辑发布。德文和中文文本仍为翻译草稿。

文献比较