Rule 30：不同初始行，相同的左侧演化

我比较两条初始行：一条只有位置 0 为 1，另一条在 0、2、4、6、…… 处为 1。其余单元都为 0。

两条初始行在无限多个位置上不同，但中央单元在每个时刻的值都相同。中央左侧所有位置的完整演化也相同。

                中央
单个种子： …000 | 1 | 000000…
右半射线： …000 | 1 | 010101…

Rule 30 的更新规则是 下一状态 = 左 XOR (中 OR 右)。用 F^t(u)(n) 表示从初始行 u 出发，经过 t 次更新后位置 n 的值。行在所有整数位置上都有定义，位置编号向右增大。

上面的两条初始行满足：

F^t(单个种子)(n) = F^t(右半射线)(n)
对所有 t ≥ 0 和所有 n ≤ 0 成立。

一般结论

设 u 是任意二进制行，最右侧的占用单元位于 R≥1，也就是 u(R)=1，且所有 n>R 都有 u(n)=0。左侧不受限制。

那么存在一条行 v，从某个正位置起向右按 1、0、1、0、…… 交替排列，并且：

F^t(v)(n) = F^t(u)(n)
对所有 t ≥ 0 和所有 n ≤ 0 成立。

这里的交替尾部指初始行中的空间排列，并不表示某个固定单元的值随时间交替。

单种子例子中的 R=0，所以它不是一般结论的直接特例。它来自下面的第一种构造：R−1=-1 处的值为 0，而该构造保留所有 n≤R 位置的完整演化。

如何构造新行

分两种情况。

R−1 处的值为 0。 保留原行截至 R 的部分，在 R+2、R+4、R+6、…… 添加占用单元。所有 n≤R 位置的演化保持不变。

R−1 处的值为 1。 将最右占用单元从 R 移到 R+1，其他位置不变。所有 n≤R−1 位置的值在全部 t≥0 时刻都相同。新右边缘的 R 和 R+1 两处为 01，因此可以在 R+1 应用第一种构造。

由于 R≥1，两种情况都保留所有 n≤0 位置的演化。

为什么差异一直留在右侧

证明使用两个局部恒等式。记 E=R+t，即原行向右移动的边缘。

当 u(R−1)=0 时，先只在 R+2 添加一个单元。两种演化的差异位置恰好为：

t 为偶数：{E+2}
t 为奇数：{E, E+1, E+2}

这些位置都在 R 右侧，因为奇数情况最早发生在 t=1。在移动边缘附近代入局部更新规则，即可用归纳法证明这一恒等式。在关键的一步，两种演化的局部三单元邻域中，中间输入都为 1。因此该处的 中 OR 右 项不依赖右输入。

新出现的最右占用单元左邻仍为 0，因此可以在右侧相隔两个位置处继续添加单元。每次有限添加都保留同一个左侧区域。

无限尾部的结论来自有限依赖性。对于任意固定的时间 t 和位置 n，输出只依赖初始区间 [n−t,n+t]。足够长的有限补全在该区间内与无限补全一致，所以它们在该时空点的值相同。这对任意 t 和 n≤R 都成立。

第二种情况下，将最外侧占用单元右移一格后，差异位置为：

t 为偶数：{E, E+1}
t 为奇数：{E+1}

同样的局部归纳证明这些差异始终严格位于 R−1 右侧。再接上第一种补全，就得到一般结论。

仍未解决的问题

补全后的初始行右侧有无限多个 1。因此，这个构造既没有为任意指定的中央序列给出有限初始行，也没有判定单种子中央列最终是否周期性。

相关工作研究过侧向重建、对角线结构和时间轨迹限制，例如 Wolfram 的重建说明、Rowland 的局部结构论文和 Kopra 的轨迹结果。我尚未确定这个具体构造是否已在早期文献中出现。

来源与检查

本笔记使用源提交 85d7d83c06f692f3fa7d19af42b6c988e0f58ca0。一般的 R≥1 命题是 Phase20ExplicitCompletion.lean 中的 Rule30.full_checkerboard_completion_exists。R=0 的单种子例子在 Phase17InfiniteFiber.lean 中有单独的形式化证明：Rule30.infiniteEvenRow_same_left_trace 和 Rule30.infiniteEvenRow_same_center。

为检查本笔记，在新建目录中使用 Lean 4.34.0 重新构建了检查所涉及的全部十个 Lean 模块，构建通过。一名 AI 审查者还重新推导了边缘论证，并运行了另写的有界模拟。模拟检查有限情形；关于全部时刻的结论依赖证明及其 Lean 验证。