两条根接 119 边臂各内部深度的分别零标号

设 H 为任意有限图，具有 Q 条边、指定根顶点 o，以及给定的通常 graceful 标号 g。顶点标号是 0,…,Q 中互不相同的值，边的绝对差值恰为 1,…,Q，且 g(o)=0。保留 H 的所有顶点和边，在 o 处添加两条分别命名、各含 119 条边的臂，并将 o 与一条 238 边路径的索引 119 顶点识别。对于任一新臂及每个深度 d=1,…,118，整个拼接图都存在一种通常 graceful 标号，使所选顶点取零。每个目标使用各自的标号；顶点标号位于 0,…,Q+238，边的绝对差值恰为 1,…,Q+238。

给定的根处零标号是前提。H 不必连通、无环、为树、具有 alpha 标号或为顶点满射标号；Q=0 也允许。定理不指定公共根、深度 119 的任一新端点或 H 的旧顶点取零，也不提供一个具有多个零目标的标号。

源码还证明了一个单独的近端点族。对每个整数 r≥1，令 K=30·4^r−1。在相同的给定零根 graceful 图 H 前提下，任一新建 K 边臂的每个深度 K−8,…,K−1 都有各自的整个拼接图通常 graceful 标号，边标号范围为 2K+Q。这八个深度来自四对源码定理。这不证明 r>1 时的全部内部深度，也不证明每一种奇数臂长。

固定 K119 证明将保留的 1–114 定理与覆盖 115–116 和 117–118 的终端种子证明组合。经认证的 alpha 路径通过已有的 alpha/graceful 顶点合并接入；若所选路径顶点具有最大标号，则对整个图的标号取补。该合并的较早来源包括 Huang–Kotzig–Rosa 的结果，见 Panpa、Imnang 和 Wasuanankul（2025，定理 2.5）及 Shan–Zhong（2026，引理 1）的表述。端点匹配的路径串接也是已有操作，见 Adamaszek（引理 1）及 Hicks–Ollis–Schmitt（引理 4.5 的证明）。

两次应用 Shan–Zhong（定理 2）已可得到任意 H 情形下任一臂深度 1 和 2 的结果；Luiz–Campos–Richter（2017，定理 14）覆盖带一个中心叶顶点的路径。这些操作和特例均归于前人工作。较早结果是否蕴含完整 K119 范围 1–118 仍未解决，包括 Cattell（2007）的完整 alpha/路径构造。完整的深度 1–118 结论此前是否已有，尚不清楚。