等长臂蜘蛛树族的指定零顶点：五种臂长的证书与组合证明

2026 年 10 月 9 日

简体中文翻译草稿，尚未经人工语言审校。

摘要

本文给出明确的构造证明：对于 \(k\in\{3,5,7,9,11\}\)、\(n\ge2\) 和 \(m\ge0\)，具有 \(n\) 条各含 \(k\) 条边的长臂及 \(m\) 个中心短叶子的树 \(S(k^n,1^m)\) 是 0-可旋转的。无论预先指定哪个顶点，都能找到一个优美标号使该顶点恰为零。证明使用已有的中心零标号、alpha 合并及叶子扩展构造，并用十个有限路径证书补足内部深度。长臂数与短叶子数没有上界；无界结论来自公式和区间证明，有限测试用于核对证书与实现。已有文献已覆盖若干完整子族，本文不主张首次证明或新方法。

1. 定义与定理

\(S(k^n,1^m)\) 是一棵带指定中心的树，其中 \(n\) 条长臂各含 \(k\) 条边，另有 \(m\) 个直接邻接中心的短叶子。各臂除中心外互不相交；上标表示重数，不表示幂。深度是顶点到中心的距离。边数为 \(q=nk+m\)，顶点数为 \(q+1\)。当 \(n=2,m=0\) 时，这是带指定中点的路径。即使采用要求中心度数至少为三的蜘蛛树定义，本文也明确包含这一边界情形。

有 \(q\) 条边的树的优美标号是顶点集到 \(\{0,1,\ldots,q\}\) 的双射，使边上的绝对差值恰为 \(1,\ldots,q\)，各出现一次。树是 0-可旋转的，指对每个指定顶点 \(v\)，都存在一个优美标号 \(f_v\)，满足 \(f_v(v)=0\)。不同顶点可使用不同标号。

定理。 对每个 \(k\in\{3,5,7,9,11\}\)、每个整数 \(n\ge2\) 及每个整数 \(m\ge0\)，树 \(S(k^n,1^m)\) 是 0-可旋转的。

特别地，这包含所有 \(S(9,9,9,1^m)\)，也包含任意数量的九边或十一边长臂。十一边臂部分使用四个额外路径证书，适用于所有 \(n\ge2,m\ge0\)。对于七边臂，它包含此前 K7 札记的 \(n=3,m\ge1\) 子族，并将参数范围扩至任意 \(n\ge2\) 和 \(m=0\)。本证明在逻辑上不依赖此前 K7 证明。

一般部分结果。 对每个奇数 \(k\ge3\) 及所有 \(n\ge2,m\ge0\)，零可以指定在中心、任意长臂的深度 \(1,2,k-1,k\)，以及任意存在的短叶子处。重复深度只计一次。

此前另有四边臂定理：对于每个 m≥1，S(4,4,4,1^m) 是 0-可旋转的。它仍是一项单独的结果；本文的新树族定理没有将 k=4 扩展到任意长臂数 n。完整定理仅涉及五种列出的臂长。本文没有证明所有奇数臂长、偶数臂长或不等长臂的完整结论；所得蜘蛛树标号无需是 alpha 标号。

2. 中心为零的显式公式

先允许任意整数 \(k\ge1,h\ge0,m\ge0\)。在 \(S(k^h,1^m)\) 中将中心标为零，长臂编号为 \(i=0,\ldots,h-1\)，深度为 \(j=1,\ldots,k\)，并令

\[ b(i,j)= \begin{cases} (h-i)k-\dfrac{j-1}{2},&j\text{ 为奇数},\\ ik+\dfrac j2,&j\text{ 为偶数}. \end{cases} \]

短叶子依次标为 \(hk+1,\ldots,hk+m\)。这是已有对称根树中心零构造的一种具体形式，以下直接验证其正确性。

区间 \([ak+1,(a+1)k]\) 的前 \(\lfloor k/2\rfloor\) 个标号来自第 \(a\) 条臂的偶数深度，后 \(\lceil k/2\rceil\) 个来自第 \(h-1-a\) 条臂的奇数深度。因此长臂恰使用 \(1,\ldots,hk\)。

中心边的差值为 \((h-i)k\)，即 \(k,2k,\ldots,hk\)。第 \(i\) 条臂内部的差值为 \[ |(h-2i)k-s|,\qquad 1\le s\le k-1. \] 写 \(a=h-2i\)。这些差值组成区间 \([tk+1,(t+1)k-1]\)，其中 \(a>0\) 时 \(t=a-1\)，\(a\le0\) 时 \(t=-a\)。随 \(i\) 变化，\(t\) 恰遍历 \(0,\ldots,h-1\)：正的 \(a\) 给出 \(h-1,h-3,\ldots\)，非正的 \(a\) 递增补足另一种奇偶性。上述区间与 \(k\) 的倍数分割 \(1,\ldots,hk\)，短叶子差值再补足 \(hk+1,\ldots,hk+m\)。

所以这是中心为零的优美标号。\(k=1\) 时内部区间为空；\(h=0\) 时只剩星形树；\(h=m=0\) 时只剩单个顶点，结论仍成立。

3. 保留极值位置的 alpha 路径合并

路径的优美标号 \(a\) 是 alpha 标号，指存在阈值 \(A\)，使每条边一端标号至多为 \(A\)，另一端大于 \(A\)。

取路径 \(H=P_{2k+1}\)，位置编号为 \(0,\ldots,2k\)，指定中心位于位置 \(k\)。假设 \(a\) 是阈值为 \(A\) 的 alpha 标号，并满足关键条件 \(a(k)=A\)。再取 \[ G=S(k^{n-2},1^m),\qquad Q=(n-2)k+m, \] 并用第 2 节的中心零标号 \(b\)。识别两个中心，定义 \[ f(v)= \begin{cases} b(v)+A,&v\in G,\\ a(v),&v\in H,\ a(v)\le A,\\ a(v)+Q,&v\in H,\ a(v)>A. \end{cases} \] 共有中心的两条规则均给出 \(A\)。\(G\) 标号为 \([A,A+Q]\)，低路径标号为 \([0,A]\)，高路径标号为 \([A+Q+1,2k+Q]\)。唯一共有值是已识别中心的 \(A\)，故这是到 \([0,nk+m]\) 的双射。

\(G\) 的差值保持为 \(1,\ldots,Q\)。每条路径边跨越阈值，差值增加 \(Q\)，成为 \(Q+1,\ldots,Q+2k\)。于是合并标号优美。路径中的零顶点仍为零；路径最大标号 \(2k\) 变为全图最大标号 \(nk+m\)。把各标号取补 \(nk+m-f(v)\)，保持边差值，并使后一顶点变为零。

因此，满足条件的路径中零或最大标号所在的深度，均可用作所有 \(S(k^n,1^m)\) 的指定零深度。交换整条等长臂可将零移到任意指定臂。\(Q=0\) 时合并就是原路径；\(n=2,m>0\) 时剩余图是星形树。这是已有 alpha 合并的应用，不主张新的组合方法。

4. 所有奇数臂长的深度一、二公式

设 \(k=2r+1,r\ge1\)，中心标号为 \(A=2r\)。从中心向外，在左臂令 \[ a_L(2j+1)=4r+2-j\quad(0\le j\le r),\qquad a_L(2j)=j-1\quad(1\le j\le r), \] 在右臂令 \[ a_R(2j+1)=2r+1+j\quad(0\le j\le r),\qquad a_R(2j)=2r-j\quad(1\le j\le r). \] 低标号为中心的 \(2r\)、左臂偶数深度的 \(0,\ldots,r-1\) 及右臂偶数深度的 \(r,\ldots,2r-1\)。高标号为左臂的 \([3r+2,4r+2]\) 及右臂的 \([2r+1,3r+1]\)。各区间互不相交，合起来恰为 \(0,\ldots,4r+2\)，每条边均跨越阈值。

右臂从中心向外的差值为 \(1,2,\ldots,2r+1\)。左臂首个差值为 \(2r+2\)，其余依次为 \(4r+2,4r+1,\ldots,2r+3\)。所以每个差值 \(1,\ldots,4r+2=2k\) 恰出现一次。左臂深度一处为 \(2k\)，深度二处为零。第 3 节据此覆盖所有奇数臂长的深度一和二。

5. 长臂端点、其前驱及短叶子

若优美树有 \(q\) 条边，某顶点标号为零，则在该顶点接上新叶子并标为 \(q+1\)。旧差值不变，新差值为 \(q+1\)。再将所有标号取补 \(q+1-f(v)\)，新叶子便为零，旧零顶点为新最大标号。这是已有可逆叶子构造的直接形式。

要在指定长臂端点放置零，先在 \(S(k^{n-1},1^m)\) 上使用中心零标号，然后连续 \(k\) 次在当前零端点接新叶子并取补。恰好长出所需的 \(k\) 边臂，零在其端点，其前驱标为 \(nk+m\)。再取一次补，零就在深度 \(k-1\)。

要在指定短叶子放置零，\(m\ge1\) 时先在 \(S(k^n,1^{m-1})\) 上使用中心零标号，再执行一次叶子扩展。新叶子为零；交换短叶子可指定其中任意一个。长臂端点及其前驱的构造本身无需奇数臂长。这些构造也适用于起始图为路径或单个顶点的情况。

中心、深度 \(1,2,k-1,k\) 及短叶子均已覆盖，故一般部分结果成立。

6. 十个有限 alpha 路径证书

以下按左端点到右端点列出路径。采用从零开始的索引，第 \(k\) 项是指定中心，标号为 \(A=k-1\)。十一边路径的中点位置为 11，标号与阈值均为 10；低标号为 0 至 10，高标号为 11 至 22。最后两列是零与 \(2k\) 到中心的距离。

各行使用 \(0,\ldots,2k\) 一次，跨阈值交替，其相邻差值如下：

每一行都是 \(1,\ldots,2k\) 的排列，可直接检查。路径归约将证书提升为适用于所有 \(n,m\) 的零位置。

对于 \(k=11\)，归约中的 \(Q=11(n-2)+m\)、\(A=10\)。三个标号区间分别为 \([0,10]\)、\([10,10+Q]\)、\([11+Q,22+Q]\)，唯一重复是已识别的中心；两组差值为 \(1,\ldots,Q\) 和 \(Q+1,\ldots,Q+22\)。四个新证书覆盖深度 2 至 9，第 4 节以 \(r=5\) 给出深度一，第 5 节给出深度十、十一及短叶子，中心由第 2 节覆盖。这一推导对所有 \(n,m\) 成立。加上中心和所有存在的短叶子，每个顶点都已覆盖，定理得证。无需声称这些深度在所有退化情形中恰好构成不同的自同构轨道；逐一覆盖每条臂的每个深度即已足够。

7. 偶数臂长对这一路径方法的障碍

命题。 若 \(k=2r\ge2\)，则路径 \(P_{2k+1}\) 不存在同时满足“中点标号为 \(k\)”和“中点的某邻点标号为 \(2k\)”的优美标号。

令 \(q=4r\)。中点标号为 \(2r\)，邻点标号为 \(q\)。为了实现差值 \(q\)，该邻点必须还邻接零，故该侧起始链为 \((2r,q,0)\)。顶点 \(q\) 已达到路径度数二，差值 \(q-1\) 遂迫使零的另一邻点为 \(q-1\)，因为另一可能配对 \((1,q)\) 已不可用。依次实现最大的未用差值，迫使形成链

\[ 2r,4r,0,4r-1,1,4r-2,2,\ldots,3r+1,r-1. \]

归纳说明如下。在实现差值 \(q-s\) 前，尚未使用的中间标号区间之外的标号均已在链中；除链的当前端点和中点外，较早链顶点的路径度数均已占满。当 \(s=2j\) 时，唯一仍可用的差值 \(q-2j\) 配对为 \((j,q-j)\)；当 \(s=2j+1\) 时，唯一仍可用的配对为 \((j,q-j-1)\)。其他配对必含一个度数已占满的顶点。中点到任意标号的差至多为 \(2r\)，不能参与这里强制的较大差值。因此链必须继续，直到含有 \(2r=k\) 条边。

此时标号 \(r-1\) 已是该侧路径端点，除中点外该侧所有顶点均已饱和。仍需实现差值 \(2r+1\)，但余下顶点与中点的标号全在 \([r,3r]\)，该区间宽度仅 \(2r\)，矛盾。\(r=1\) 时中间延伸为空，论证同样成立。

当偶数 \(k\) 的路径中点位于 alpha 低侧时，其二分部有 \(k+1\) 个顶点，所以低侧标号为 \(0,\ldots,k\)，阈值必为 \(k\)。若中点恰标为阈值，第 3 节方法不能把路径最大值放在深度一处；也不能把零放在那里，因为中点及其邻点位于相反的 alpha 两侧。这仅是所述路径归约的障碍，并非偶数臂蜘蛛树不具备 0-可旋转性的证明。此前四边臂证书也表明两者需要区分。

8. 可复现计算与审查范围

在仓库副本中进入 families/ 目录；组合证明 ZIP 也包含 families/ 目录，解压后进入该目录。使用 Python 3.10 或更新版本，无需额外软件包，并确保解压副本可写，然后运行：

python -B verify.py
python -B independent/verify_independent.py
python -B construct.py 9 3 1 5
python -B k11/check.py
python -B k11/independent/verify_independent.py

前三条命令属于臂长 3、5、7、9 的材料；其中构造命令输出 \(S(9^3,1^1)\) 在深度五处为零的标号。后两条检查十一边臂的四个证书、合并标号及独立逐顶点构造。独立检查程序会写入结果，因此目录需要写入权限。原始 verify.py 与 k11/check.py 使用断言，运行时不要加 -O，以免关闭断言。-B 禁止写入 Python 字节码，不会关闭检查。

已有证书可直接核对，无需重跑搜索。十一边材料还包含研究阶段的有界搜索程序，但搜索耗尽预算的 UNKNOWN 不能解释为不存在；任何 EXHAUSTED 也只涉及该次固定的中点、极值位置及二分部约束。搜索代码仅对这里的参数使用作了检查，不能视作任意臂长的通用求解器。本文不以搜索次数作为数学证明或独立审查结论。

对于臂长 3、5、7、9，原始检查程序重新建立图，检查顶点标号与边差值多重集及精确指定零顶点；它使用构造程序生成标号，但不依赖搜索程序验证证书。其记录为：

上述逐顶点测试包含 \(k\in\{3,5,7,9\}\)，\(n\in\{2,3,4,5,8\}\)，\(m\in\{0,1,2,5\}\)，以及更大的压力测试实例。

对于同一四臂长范围，另行开展的内部数学审查重新核对量词、区间分割、路径合并、极值位置、叶子扩展、全深度覆盖、退化情形及偶数路径障碍。审查代理采用独立顶点编号和独立编写的构造，没有导入原始搜索或检查程序；另设一条测试流程仅将原构造程序用作证书生成器。其检查使用显式错误处理，即使 Python 开启优化也仍有效。结果如下：

所有检查通过。对于偶数障碍，审查还穷举了 \(k=2\) 的 6 个及 \(k=4\) 的 5,040 个满足固定中点与邻接最大值的排列，均不优美。

这些有限检查支持公式转写、实现和边界情形的正确性。无界量词来自第 2–6 节证明。原构造与原检查程序来自同一研究会话；另行审查采用不同实现，但仍属于内部 AI 审查，并非外部数学专家的独立认可，也不是形式化验证。

十一边臂的原始 check.py 另行通过四个精确证书、1,680 个合并标号与两个故意损坏输入的拒绝检查。另行开展的内部审查未导入该搜索、原始检查或构造代码，而是自行建立图和标号，实际检查中心、短叶子、长臂端点及内部深度。其结果为：

特别地，\(n=2,m=0\) 的 23 个路径顶点均被单独检查。原始程序也在正常模式下执行并通过。独立程序使用显式运行时错误检查，开启优化也不会关闭它们。审查没有独立重跑研究阶段的大预算搜索或确认其 DFS 次数；精确证书经独立核对后，存在性不依赖这些历史计数。上述计算仍是内部 AI 审查和实现核查，未替代外部专家审稿或形式化验证。

配套材料：完整证明、构造程序、检查程序、六个证书、文献比较。

十一边材料：补充证明、四个补充证书、原始检查程序、独立检查程序、独立审查。组合证明 ZIP。

以上是待冻结发布的稿件链接：290c72cd3b79c955787c0b28e5f4fb2cd6556e4e 表示经核验的固定提交，9 表示组合证明 ZIP 的实际下载资源编号。占位符尚未替换时，不应视为已经发布的复现入口。

9. 既有结果与确切重叠

整个树族的普通优美性早已可由等长臂的中心零构造及添加中心叶子推出。本工作的完整陈述关乎每个预先指定的零顶点。下表列出此次专项文献审查在原始文献中核对的覆盖范围；“未找到”不表示确定不存在更早证明。

Patterson（2017）的推论 2.4.3、定理 3.2.1 和 5.3.6 提供中心零、alpha 合并及可逆叶子构造。其猜想 5.4.4 的范围包含这里的树族；猜想不是通用定理。定理 3.3.8 涉及至多三条非平凡臂的优美性。alpha 合并在该文中归于 Huang–Kotzig–Rosa（1982）。原始学位论文。

Luiz–Campos–Richter（2017，技术报告 IC-17-12）的定理 14 是在路径中点接一个叶子的 0-可旋转性，定理 22 覆盖所有直径六的毛虫树。这分别给出表中 \(n=2,m=1\) 和 \(n=2,k=3\) 子族。其引理 4 重述路径 0-可旋转性。相关 2020 年期刊论文需要另行核对，不能把 2017 年报告的定理编号直接套用到它。原始报告，相关期刊论文。

Rofa（2023）的定理 1 给出根零标号，推论 3 证明臂长至多三的对称蜘蛛树 0-可旋转；文章明确留下臂长至少四的对称蜘蛛树供继续研究。定理 2 含根对称性与毛虫剩余图假设，并不覆盖任意内部深度。\(k=3,n\ge3,m\ge1\) 的混合长短臂在指定中心处并非根对称，不能直接援引推论 3。对于 \(k=5,7,9,11\)，即使 \(m=0\)，该推论也不适用。原始论文。

Panpa–Imnang–Wasuanankul（2025）的定理 2.4、2.5 分别重述中心零和 alpha 合并。定理 3.2 给出三臂中心零，3.3 给出四臂任意叶子零，3.4 给出五臂树的优美性。原文“五臂”指全部臂数，不应改写为“五条非平凡臂”；这些定理没有给出无界臂数下的全部内部零位置。出版社全文。

Shan–Zhong（2026，v2）的引理 1 重述 alpha 合并；引理 2(a,b) 重述路径 0-可旋转性，其中 alpha 路径中点的例外是 \(P_5\)。定理 5 处理至多三条长度超过二的臂的优美性，不是完整 0-可旋转性。原始 v2 全文。

Bahls–Lake–Wertheim（2010）的定理 1 证明臂长属于 \(\{r,r+1\}\) 的蜘蛛树优美，覆盖等长臂，但不能直接覆盖此处 \(k\ge3\) 的混合臂长 \(\{1,k\}\)。原文注明该结论可由 Poljak–Sura（1982）推出；它没有完整指定零断言。出版社 PDF。

Niu 的 2026 年预印本于 2026 年 5 月 14 日因缺乏新颖性撤回，涉及已知中心零及常规叶子扩展下的普通优美性；不能沿用其残存摘要的新颖性表述。撤回记录。

本次文献审查没有穷尽 1977 年与 1982 年原始全文及其前后引文链，也未完整核对 Cattell 的全文及有关同时指定路径标号的早期结果。已有的更一般路径表或保留标号的组合定理可能包含这些证书。仅有“任意顶点可为零”的路径定理，不会自动保证本证明还要求的“中点标为 alpha 阈值”。因此不能将“本次未找到完整陈述”改写为新颖性或首次证明结论。

10. AI 的实际工作与尚待完成的审查

Jordi Gartner 通过 Beedbyte 发布这项工作。

此次研究使用 AI 辅助提出并检验路径归约、推导中心及奇数路径公式、搜索十个有限证书、编写构造与核查代码、组织全深度覆盖证明、分析偶数路径障碍，以及准备文献比较和多语言稿件。另行开展的内部数学审查检查前四种臂长及十一边补充证明，并分别编写独立构造和核查程序；专项文献审查核对引用与定理假设。这些是实际完成的研究步骤，而非声称 AI 已独立获得历史优先权或外部认可。

原始构造与原检查程序由同一次研究会话准备，存在共同错误来源。独立实现和单独审查减少这一风险，但其内部 AI 性质必须保留。中文文本是 AI 辅助翻译稿，尚未经人工语言审校。外部数学专家审稿、完整历史优先权调查和形式化证明均未完成。

下一个明确问题是：对每个奇数 \(k\ge3\) 及每个偶数深度 \(2\le d\le k-3\)，能否统一构造上述 alpha 路径，使中点标为阈值、零位于深度 \(d\)、最大标号位于深度 \(d+1\)？若能，第 2–5 节将给出所有奇数臂长、所有 \(n\ge2,m\ge0\) 的 0-可旋转性。本文未证明这样的统一构造。