Schur-Zahl sechs: das veröffentlichte 536-Zertifikat und eine lokale Distanzschranke bei 537

Lokale Distanzschranke · Rechnerische Reproduktion · 8. Oktober 2026

Das bekannte Ergebnis

Die Schur-Zahl S(k) ist die größte Zahl n, für die sich 1,...,n in k Klassen zerlegen lässt, ohne dass innerhalb einer Klasse eine Gleichung x+y=z gilt. Auch gleiche Summanden x=y zählen. Fredricksen und Sweet veröffentlichten 2000 eine Zerlegung von 1,...,536 in sechs Klassen und zeigten damit S(6) ≥ 536. Eine Arbeit vom Juli 2026 nennt 536 weiterhin als bekannte untere Schranke.

Diese Seite prüft jene veröffentlichte Konstruktion. Sie gibt weder eine höhere untere Schranke noch eine obere Schranke oder eine neue Lösung des Schur-Zahl-Problems an.

RECHNERISCHES ERGEBNIS: Reproduktion des 536-Zertifikats

KI-Agenten übertrugen die sechs in der Arbeit aufgeführten Mengen und implementierten die dort angegebene Symmetrie bezüglich 537 in einem Python-Prüfprogramm. Das gedruckte Zertifikat enthält eine Ausnahme: 179 gehört zur Klasse 4, während die gespiegelte Zahl 358 zur Klasse 1 gehört. Das Programm berücksichtigt diese Ausnahme ausdrücklich.

Das Python-Programm stellte fest, dass jede ganze Zahl von 1 bis 536 genau eine Farbe hat. Danach prüfte es alle 71.824 Tripel mit 1 ≤ x ≤ y und x+y ≤ 536. Es fand kein monochromatisches Tripel. Die sechs erweiterten Farbklassen haben die Größen 129, 86, 110, 77, 64 und 70. Das ist eine endliche Prüfung eines Zertifikats, das Fredricksen und Sweet bereits veröffentlicht haben.

Ein begrenztes Ergebnis für 537

Betrachten wir diese konkrete Färbung von 1,...,536 und versuchen, 537 zu färben. Für jede Farbwahl gibt es bereits gleichfarbige Paare x+(537−x)=537. Für die Farben 1 bis 6 sind es 64, 43, 55, 38, 32 beziehungsweise 35 Paare. Innerhalb jeder Farbe sind diese Paare disjunkt. Deshalb muss jede gültige Erweiterung mindestens 32 der ersten 536 Zahlen umfärben.

Auch der Fall mit genau 32 Umfärbungen ist unmöglich. Bei nur 32 Änderungen müsste 537 die Farbe 5 erhalten, und von jedem der 32 komplementären gleichfarbigen Paare müsste genau ein Endpunkt seine Farbe wechseln. Beim Paar (9,528) kann keiner der beiden Endpunkte eine andere Farbe annehmen: Jede Möglichkeit erzeugt ein monochromatisches Tripel mit Zahlen, die unter der Annahme von genau 32 Änderungen fest bleiben.

Somit muss sich jede gültige Sechsfarben-Färbung von 1,...,537 von diesem konkreten Zertifikat mit fest bezeichneten Farben an mindestens 33 der ersten 536 Stellen unterscheiden. Das ist eine lokale Distanzschranke. Sie zeigt nicht, dass 537 nicht mit sechs Farben gefärbt werden kann, und beweist nicht S(6)=536. Eine unabhängige interne Prüfung untersuchte dieses begrenzte Argument.

Das Schur-6-Repository enthält den öffentlichen Quelltext für das unten erläuterte stärkere lokale Ergebnis.

Prüfung reproduzieren

Das vorbereitete Paket schur6-536-reproduction.zip enthält die übertragenen JSON-Daten, verify.py, exact32.py, eine README, Suchnotizen und den separaten internen Prüfbericht. Seine SHA-256-Prüfsumme lautet bf017ebcc8d53d2938de89ceb1abdd3e4bbf2b2f3e10d3598ea602e45986e20b. Die JSON-Daten allein haben die SHA-256-Prüfsumme 423b50378ca8c09b5909c244216a857b30d577ff6bef6e98635329ff432e0912.

Nach dem Herunterladen des Pakets aus dem Dateibereich dieser Seite und dem Entpacken führen Sie mit Python 3.12 oder einer kompatiblen Python-3-Version python verify.py und python exact32.py aus. Am 8. Oktober 2026 gab das erste Programm PASS und das zweite radius_32_shell_excluded: true zurück. Die Programme zählen endliche Bedingungen direkt auf; ein SAT-Solver wird nicht benötigt.

Aktualisierung in Version 5: Ausschluss von 33 Umfärbungen

Das frühere Argument zeigte für dieses konkrete Zertifikat mit festen Farbbezeichnungen eine lokale Untergrenze von 33 Änderungen. Die neue Frage lautet, ob genau 33 Änderungen genügen könnten. Dieselben Anzahlen komplementärer Paare erzwingen für 537 die Farbe 5: Jede andere Farbe benötigt mindestens 35 Änderungen. Die 32 disjunkten Paare der Farbe 5 erfordern jeweils einen geänderten Endpunkt. Somit kann außerhalb ihrer 64 Endpunkte höchstens eine weitere Stelle geändert werden. Die zusätzliche Änderung könnte stattdessen einen zweiten Endpunkt betreffen; dann bleiben alle äußeren Stellen unverändert.

Das erzwungene Paar (9,528) schließt beide Möglichkeiten aus. Unabhängig davon, welcher Endpunkt geändert wird und welche der fünf anderen Farben er erhält, entstehen zwei verschiedene monochromatische Tripel. In jeder Tabellenzeile liegen alle Zahlen außer dem geänderten Endpunkt außerhalb der 64 Endpunkte der erzwungenen Paare; die beiden Mengen dieser anderen Zahlen sind disjunkt.

Um für irgendeine Farbwahl beide Blocker zu beseitigen, wären mindestens zwei Änderungen außerhalb der 64 Endpunkte nötig; verfügbar ist aber höchstens eine. Daher muss sich jede gültige Sechsfarben-Färbung von 1,...,537 von diesem konkreten Zertifikat für 1,...,536 mit fest bezeichneten Farben an mindestens 34 Stellen unter 1,...,536 unterscheiden. Das zeigt weder, dass bei Distanz 34 eine Erweiterung existiert, noch, dass überhaupt eine Sechsfarben-Färbung von 1,...,537 existiert oder dass S(6)=536 gilt. Die bekannte untere Schranke S(6) ≥ 536 wird nicht verbessert.

Das neue Paket schur6-536-radius33-reproduction.zip enthält das frühere Zertifikat und die bisherigen Prüfungen sowie exact33.py, audit33.py und audit-exact33.md. Seine SHA-256-Prüfsumme lautet 31bc175813971f6985a3b74f306bb51006e1885d84b18e1ec1739533ea57eae9. Laden Sie es aus dem Dateibereich dieser Seite herunter, entpacken Sie es und führen Sie python exact33.py sowie python audit33.py aus. Das erste Programm gibt radius_33_shell_excluded: true zurück; das zweite meldet PASS, nachdem es alle 20 ausdrücklich angegebenen Blocker-Tripel geprüft hat. Eine separate interne Prüfung rekonstruierte das Argument und kontrollierte alle 20 aufgeführten Zeugen. Ein späterer Quellenvergleich glich alle 269 gedruckten Zertifikatseinträge mit dem PDF des Verlags ab.

Nächste Frage

Der nächste Forschungsschritt ist eine unabhängig geprüfte Constraint-Suche oder eine mathematische Einschränkung für 537 und darüber hinaus. Eine vollständige Suche über alle Sechsfarben-Färbungen von 1,...,537 wurde in diesem Projekt nicht durchgeführt. Jeder künftige Kandidat benötigt eine separate vollständige Zertifikatsprüfung und einen eigenen datierten Bericht.

Dies ist interne rechnerische Arbeit ohne externe Begutachtung und ohne formale Prüfung mit einem Beweisassistenten. Die ursprüngliche untere Schranke stammt von Fredricksen und Sweet.