Wachsende Tiefenabdeckung für vorgegebene Nullknoten in Spinnen mit gleich langen Armen

Version gd-2026-10-09-v1.1 · 9 October 2026.

Zusammenfassung

Wir geben eine explizite Konstruktion für eine wachsende Menge vorgegebener Nullpositionen in Spinnengraphen mit gleich langen Armen an. Seien s>=1 und r>=3s ganze Zahlen mit r!=3s+1, und sei k=2r+1. Die Konstruktion liefert eine α-Beschriftung des Pfades P_(2k+1) mit der Mittelpunktbeschriftung k-1 und der Schwelle k-1, der Null in Tiefe 4s und dem Maximum 2k in der benachbarten Tiefe 4s+1 desselben Arms. Die Endpunktbeschriftungen sind (3k-1)/2 und (3k+1)/2. Die bekannte α-Amalgamation und eine Komplementierung liefern anschließend für alle ganzen Zahlen n>=2 und m>=0 eine grazile Beschriftung von S(k^n,1^m), die einem beliebig vorgegebenen Knoten eines langen Arms in Tiefe 4s oder 4s+1 die Null zuweist. Dabei werden getrennte Beschriftungen verwendet. Für jedes ungerade k>=11 sind mindestens 2 floor((k-5)/6) verschiedene Tiefen abgedeckt. Das ist eine teilweise Abdeckung vorgegebener Nullpositionen; die mathematische Priorität ist ungeklärt.

Geltungsbereich

S(k^n,1^m) besitzt n Arme der Länge k und m Arme der Länge eins; Längen werden in Kanten gemessen. Die Tiefe ist der Abstand vom festgelegten Zentrum, auch im Pfadfall n=2,m=0. Für jedes zulässige Parametertupel und jeden vorgegebenen Knoten in einer der beiden Tiefen existiert eine Beschriftung, die diesem Knoten die Null zuweist. Die Beschriftung darf vom Knoten abhängen; zwei Knoten erhalten nicht innerhalb derselben Beschriftung die Null.

Für festes r lautet die genaue Indexmenge I_r={s>=1:3s<=r and r!=3s+1}. Die einheitliche Untergrenze erfasst sämtliche Tiefen {4s,4s+1:1<=s<=floor((k-5)/6)}. Für k=6t+1 erlaubt die genaue Konstruktion zusätzlich s=t. Der Ausschluss r=3s+1 beschränkt diese Formel und beweist keine Nichtexistenz. Es wird keine Abdeckung sämtlicher Tiefen, keine vollständige Nullrotierbarkeit, kein Ergebnis für alle Spinnengraphen und keine α-Beschriftung mit Null an jeder vorgegebenen Position behauptet. Frühere Konstruktionen für das Zentrum und andere Randtiefen sind gesonderte bekannte Bestandteile.

Nachweise und Prüfung

Ein gesonderter KI-Agent rekonstruierte den Beweis für alle Parameter unabhängig, einschließlich Permutation, Pfaderweiterungen und Spinnenkomposition. Er reproduzierte 156 gespeicherte Pfade und 960 Spinnenbeschriftungen, prüfte weitere 7.710 Pfadparameterpaare und 7.040 Spinnenbeschriftungen und wies 13 Negativkontrollen zurück. Die unbeschränkte Aussage beruht auf dem Beweis; endliche Prüfungen stützen die Konstruktionen und die Dateiintegrität. Dies war eine interne Prüfung ohne menschliche mathematische Beweisprüfung. Der gezielte Literaturvergleich fand keine geprüfte Aussage, die alle Bedingungen vereint. Zugangslücken bei Cattells vollständiger Konstruktion und älteren Quellen lassen die historische Priorität und eine mögliche Vorwegnahme jedoch offen.

Beiträge und Vorarbeiten

Die klassische Walecki-Anordnung, ältere Pfad- und α-Beschriftungskonstruktionen, Zentrum-Null-Beschriftungen und die α-Amalgamation von Huang–Kotzig–Rosa sind bekannte Bestandteile. Patterson und Rofa dokumentieren verwandte Konstruktionen; die Zuordnung zu Huang–Kotzig–Rosa beruht derzeit auf späteren Quellen. Frühere Arbeiten decken bereits alle Nullpositionen für n=2,m=0 und n=2,m=1 ab.

Ein KI-Agent leitete diese Formel und den Beweis her; gesonderte KI-Agenten rekonstruierten die Mathematik, prüften die Zertifikate und verglichen die Fachliteratur. KI half auch beim englischen Veröffentlichungstext und den deutschen und chinesischen Übersetzungen. Die öffentliche Forschungssignatur lautet School Scotty; Jordi Gartner verantwortet die redaktionelle Veröffentlichung.

Beweis- und Quelldateien

Proof / Beweis / 证明 · Independent internal audit / Interne Gegenprüfung / 内部独立审查 · Source comparison / Quellenvergleich / 文献比较

Proof archive / Beweisarchiv / 证明归档 — SHA-256 3be4ef1da7645c2e8024ebf8b126434c1554e50a67dfbaa5051f7a830b86d450; 360302 bytes.